Участник:ADovganich/Нечеткий алгоритм С средних

Нечеткий алгоритм C средних
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(C*C*K*I) }[/math]., где [math]\displaystyle{ I }[/math] - количество итераций
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ K*N }[/math], [количество векторов * размерность]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ C*K }[/math], [элементы матрицы принадлежности]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 3I }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ C*C*K }[/math]

Авторы : Мария Проценко (1.5-1.8, 2.7), Андрей Довганич (1.1-1.4, 1.9, 1.10)

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Нечеткий алгоритм C-средних (fuzzy C-means) позволяет разбить имеющееся множество векторов (точек) мощностью [math]\displaystyle{ K }[/math] на заданное число нечетких множеств. Предназначен для кластеризации больших наборов данных. Основным достоинством алгоритма является нечеткость при определении объекта в кластер. Благодаря этому становится возможным определить объекты, которые находятся на границе, в кластеры. Из основного достоинства следует и главный недостаток - неопределенность с объектами, удаленными от центров всех кластеров. В остальном ему присущи стандартные проблемы подобного класса алгоритмов: вычислительная сложность, необходимость задания количества кластеров.

Алгоритм был разработан J.C. Dunn в 1973 г., усовершенствован J.C. Bezdek в 1981 г..

На вход алгоритм получает некоторое множество входных векторов и случайную матрицу их принадлежности к каждому из кластеров. На выходе с заданной точностью получаем матрицу принадлежности.

В общем виде алгоритм можно записать следующим образом:

1. Инициализировать матрицу принадлежности;
2. Вычислить центры кластеров;
3. Вычислить значение решающей функции. Если значение ниже некоторого порогового или его улучшение по сравнению с предыдущей итерацией меньше определенной величины, то остановить вычисления;
4. Иначе вычислить новые значения матрицы принадлежности;
5. Перейти к шагу 2

Математическое описание алгоритма

Рассмотрим матрицу [math]\displaystyle{ M = m_{ik} \in[0,1],\; i = 1, ..., c, \; k = 1, ..., K }[/math]. [math]\displaystyle{ m_{i,k} }[/math] - вероятность принадлежности объекта [math]\displaystyle{ k }[/math] к кластеру [math]\displaystyle{ i }[/math]; [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров, [math]\displaystyle{ K }[/math] - количество векторов. При этом элементы матрицы удовлетворяют следующим условиям:

• сумма элементов в каждом столбце равна [math]\displaystyle{ 1 }[/math];

• сумма всех элементов матрицы равно [math]\displaystyle{ K }[/math];

Назовем [math]\displaystyle{ M }[/math] матрицей принадлежности.

Пусть [math]\displaystyle{ c_{i} (i = 1,2,...c) }[/math] - центры кластеров. Тогда рассмотрим функцию

[math]\displaystyle{ \begin{align} J(M, c_{1}, c_{2},...c_{c}) = \sum_{i = 1}^{c}{J_{i}} = \sum_{i = 1}^{c}\sum_{k = 1}^{K}{m_{ik}^q}d_{ik}^2 ~(1) \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ d_{ik} = \left\Vert{u_{k}-c_{i}}\right\| }[/math] - Евклидово расстояние между центром кластера и объектом, [math]\displaystyle{ 1 \le q \le \infty }[/math] - экспоненциальный весовой коэффициент, характеризующий нечеткость. Будем минимизировать значение функции [math]\displaystyle{ J }[/math]. Для этого вычислим центры кластеров по формуле [math]\displaystyle{ ~(2) }[/math].

[math]\displaystyle{ c_{i} = {{\sum_{k = 1}^{K}{m_{ik}^q} * u_{k}} \over {\sum_{k = 1}^{K}{m_{ik}^q}}}~(2) }[/math]

где [math]\displaystyle{ m_{ik} }[/math] — коэффициент принадлежности [math]\displaystyle{ u_{k} }[/math] вектора к кластеру [math]\displaystyle{ c_{i} }[/math]

и новые значения матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] по формуле [math]\displaystyle{ ~(3) }[/math]

[math]\displaystyle{ m_{ik} = {1 \over \sum_{j = 1}^{c}{({{d_{ik}} \over {d_{jk}}})}^{2 \over q-1}} ~(3) }[/math]

[math]\displaystyle{ ~(2) }[/math] и [math]\displaystyle{ ~(3) }[/math]являются необходимым условиями достижения минимума функцией [math]\displaystyle{ J }[/math]. Таким образом эти два условия дают нам итерационный процесс.

Полностью алгоритм можно записать следующим образом:

1. Инициализировать матрицу принадлежности [math]\displaystyle{ M }[/math] случайными значениями от 0 до 1;
2. Вычислить центры кластеров [math]\displaystyle{ c_{i} (i = 1,2,...c) }[/math] используя формулу [math]\displaystyle{ ~(2) }[/math];
3. Вычислить значение решающей функции по формуле [math]\displaystyle{ ~(1) }[/math]. Если значение [math]\displaystyle{ J \lt \varepsilon,~\varepsilon \gt 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ |J_{i} - J_{i-1}| \lt \delta,~\delta \gt 0 }[/math], то остановить вычисления;
4. Иначе вычислить новые значения матрицы М по формуле [math]\displaystyle{ ~(3) }[/math];
5. Перейти к шагу 2

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма являются формулы: [math]\displaystyle{ (1) }[/math], [math]\displaystyle{ (2) }[/math], [math]\displaystyle{ (3) }[/math]. В них производится вычисление новых центров кластеров, значения решающей функции и пересчет элементов матрицы принадлежности.

Макроструктура алгоритма

Макроструктура алгоритма состоит из следующих шагов:

1. Инициализация матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] случайными значениями от 0 до 1;
2. Вычисление центров кластеров;
3. Вычисление значения решающей функции(если оно удовлетворяет условиям останова - завершение вычислений);
4. Вычисление новых элементов матрицы принадлежности;
5. Переход к шагу 2;

Схема реализации последовательного алгоритма

Пример реализации алгоритма на языке С++

    float ** m;
    int *c;
    int number_clusters, number_items;
    m = gen_random_clusters();//заполним матрицу m случайными значениями от 0 до 1
    
    while (true)
    {
      //вычисление центров кластеров
        for (int i=0; i<number_clusters; i++)
        {
            numerator==denumerator=0;
            for (int k=0; k<number_items; k++)
            {
                numerator+=pow(m[i, k], q)*u[k];//u[k]-вектор
                denumerator+=pow(m[i, k], q);
            }
        c[i]= numerator / denumerator;//центры кластеров
        }
    
        j=0;//вычисление решающей функции
        for (int i=0; i<number_clusters; i++)
            for (int k=0; k<number_items; k++)
                j+=pow(m[i, k], q)*pow(dist(c[i], x[k],2);//dist-вычисляет расстояние между заданными векторами
    
       if ((abs(j-last_j)<delta) || (j<eps)) break;//проверка на необходимость завернешения алгоритма
       last_j=j;
     //обновление матрицы m
       for (int i=0; i<number_clusters; i++)
          for (int k=0; k<number_items; k++)
             {
               m[i,k]=0
              for(int j=0; j<number_clusters; j++)
                  m[i,k]+=pow(dist(c[i], x[k])/dist(c[j], x[k]),2/(q-1));
              m[i,k]=1/m[i,k];
              }
                                       
    }

Последовательная сложность алгоритма

Каждая итерация включает в себя

• Вычисление центров кластеров [math]\displaystyle{ O(C*K) }[/math]
• Вычисление решающей функции [math]\displaystyle{ O(C*K) }[/math]
• Обновлене матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] [math]\displaystyle{ O(C*C*K) }[/math]

Общая сложность каждой итерации [math]\displaystyle{ O(C*C*K) }[/math].

Сложность всего алгоритма будет зависеть от числа итераций, которое зависит от

• Выбора начального приближения
• Выбора условий останова

Окончательно, сложность алгоритма будет равна произведению количества итераций на их сложность

Информационный граф

Первый ярус состоит из [math]\displaystyle{ C }[/math] параллельных операций, каждая их которых в свою очередь состоит из [math]\displaystyle{ K }[/math] параллельных операций, и одной, которая выполняется с использованием результата предыдущих. Результатом работы этого яруса являются значения центров кластеров , которые будут использоваться на следующем ярусе.

Второй ярус содержит в себе [math]\displaystyle{ C*K }[/math] параллельных операций. Результатом его работы является значение решающей функции [math]\displaystyle{ J }[/math]. Её значение определяет необходимость завершения алгоритма.

Третий ярус включает [math]\displaystyle{ C*K }[/math] параллельных операций, каждая из которых состоит из [math]\displaystyle{ C }[/math] параллельных операций, и одной, которая выполняется с использованием результата предыдущих.

Информационный граф

Ресурс параллелизма алгоритма

На каждом шаге алгоритма необходимо вычислять сумму элементов массивов. Сложность ее вычисления на первом шаге (вычисление центров кластеров) при параллельной реализации составляет [math]\displaystyle{ O(\log_{2} C) }[/math]. Для каждого элемента из набора входных данных([math]\displaystyle{ K }[/math]), но здесь возможен независимый расчет(координатный параллелизм). На втором шаге(вычисление решающей функции) сложность будет [math]\displaystyle{ O(\log_{2} {C*K}) }[/math], потому что здесь необходимо сложение всех элементов. На третьем шаге имеем сложность [math]\displaystyle{ O(\log_{2} C^2) }[/math]. Итого суммарная сложность итерации: [math]\displaystyle{ O(\log_{2} {C*K} + \log_{2} C^3) }[/math]. Воспользовавшись свойствами логарифма произведения получаем: [math]\displaystyle{ O(\log_{2} {K} + \log_{2} C^4) }[/math].

Скошенного параллелизма в алгоритме нет.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

• [math]\displaystyle{ u_{k} ~k = 1, ..., K }[/math] - набор входных векторов размерности [math]\displaystyle{ N }[/math];
• [math]\displaystyle{ C }[/math] - количество кластеров;
• [math]\displaystyle{ q }[/math] - экспоненциальный весовой коэффициент, характеризующий нечеткость;
• [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0, ~\delta \gt 0 }[/math] - коэффициенты, описывающие точность алгоритма.

Объем входных данных: [math]\displaystyle{ K*N }[/math] [количество векторов * размерность]

Выходные данные:

• [math]\displaystyle{ M }[/math] - матрица принадлежности.

Объем выходных данных: [math]\displaystyle{ C*K }[/math] [элементы матрицы принадлежности]

Свойства алгоритма

• Соотношение последовательной и параллельной сложности алгоритма: [math]\displaystyle{ C*C*K \over {\log_{2} {K} + \log_{2} C^4} }[/math]. Соответственно при распараллеливании наибольший прирост в производительности мы получим при разбиении большого набора данных на большее число кластеров;
• Вычислительная мощность: [math]\displaystyle{ {{C^2*K} \over {C*K}} = C }[/math]. Получается, что на чем большее количество кластеров мы разбиваем набор данных, тем менее затратным становится перемещение данных;
• Алгоритм не является устойчивым, как и другие подобные алгоритмы этого класса(например k-means). Очень многое зависит как от входных данных, так и от изначальных параметров приближения(заполнения матрицы принадлежности => исходных центров кластеров);
• Не является детерминированным. Так же очень многое зависит как от входных данных, так и от изначальных параметров приближения(заполнения матрицы принадлежности => исходных центров кластеров);
• Алгоритм не сбалансирован - доминирует операция умножения. Параллельные ветви алгоритма сбалансированы;
• Степень исхода вершины информационного графа - 2.

Программная реализация алгоритма

Существующие реализации алгоритма

Можно найти следующие реализации алгоритма

• Для MATLAB http://www.mathworks.com/help/fuzzy/fcm.html
• В PostgreSQL http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2012/v13r207.html

Так же готовые реализации алгоритма и его описание можно найти на сайтах

• https://habrahabr.ru/post/208496/
• http://pythonhosted.org/scikit-fuzzy/auto_examples/plot_cmeans.html
• http://www.codeproject.com/Articles/91675/Computer-Vision-Applications-with-C-Fuzzy-C-means
• https://github.com/gyaikhom/fcm