Быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ)

Файл:Symbol wait.svg

Эта работа прошла предварительную проверку Дата последней правки страницы: 14.11.2016 Данная работа соответствует формальным критериям. Проверено IgorS.

Авторы: Чачба А.Н., Костоев Р.С.

Чачба А.Н. заполнил половину всех заполненных пунктов (а именно 1.1, 1.2, 1.6, 1.8, 1.9) и построил информационный граф алгоритма, Костоев Р.С. написал программу и провел серию запусков на суперкомпьютере и заполнил вторую половину пунктов. Оба после заполнения исправляли найденные ошибки во всех пунктах.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(N \log N) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ N }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ N }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(\log N) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(N) }[/math]

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Преобразование Фурье - взаимно однозначное отображение одной функции [math]\displaystyle{ f }[/math] вещественной переменной, называемой таргетным сигналом, с другой функцией [math]\displaystyle{ \hat{f} }[/math] вещественной переменной, называемой образом Фурье или спектром исходной функции по формуле:

[math]\displaystyle{ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx }[/math]

Дискретное преобразование Фурье, в свою очередь, есть аналог непрерывного преобразования Фурье, но для дискретного сигнала содержащего [math]\displaystyle{ N }[/math] отсчетов. Широко применяется в цифровой обработке сигналов, теории вероятностей, криптографии и акустике. Преобразование Фурье обратимо, причем обратное преобразование имеет практически ту же форму, что и прямое. Преобразование Фурье имеет сложность [math]\displaystyle{ O(N^2) }[/math], но существует быстрый вариант преобразование Фурье со сложностью [math]\displaystyle{ O(N\log{N}) }[/math]. Такая скорость достигается благодаря применению схемы разделяй и властвуй. Общий вид преобразования позволяет разделить массив на несколько частей таким образом, что, применяя преобразование Фурье к отдельным его частям и объединяя специальным образом результаты (при помощи поворотных множителей и повторного применения преобразования), получать на выходе образ исходного вектора. Но благодаря разделению массива исходного размера на части суммарная асимптотическая сложность алгоритма уменьшается.

Математическое описание алгоритма

Пусть исходный сигнал имеет значения [math]\displaystyle{ x_n,\quad n = 0,\dots,N-1 }[/math], тогда дискретное прямое преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:

[math]\displaystyle{ X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-\frac{2\pi i}{N}kn},\quad k = 0, \dots, N-1 }[/math]

Обозначим [math]\displaystyle{ \varepsilon_{N} = e^{-\frac{2\pi i}{N}} }[/math], тогда ДПФ можно перезаписать в матричной форме:

[math]\displaystyle{ \bar X = A\bar x }[/math]

где матрица [math]\displaystyle{ A = \{\varepsilon_{N}^{(i - 1)(j - 1)}\}_{i,j=1}^{N} }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Пусть, для простоты [math]\displaystyle{ N = km }[/math], тогда рекурсивная реализация преобразования Фурье, за счет [math]\displaystyle{ {k} }[/math] рекурсий на первом этапе и [math]\displaystyle{ m }[/math] на последнем этапе, имеет суммарную сложность [math]\displaystyle{ O(Nk + Nm + km) = O(N(k + m)) }[/math].

В случае, например [math]\displaystyle{ N = 2^n }[/math] сложность БПФ составляет [math]\displaystyle{ O(N\log{N}) }[/math].

В общем же случае, когда [math]\displaystyle{ N = \prod_{i=1}^np_i }[/math] сложность БПФ составляет [math]\displaystyle{ O(N(\sum_{i=1}^np_i)) }[/math]. Так как рекурсия применяется каждый раз при отщеплении одного множителя, то можно заключить, что глубина рекурсии алгоритма составляет [math]\displaystyle{ O(n) }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math]-число множителей в факторизации [math]\displaystyle{ N }[/math].

В свою очередь, если число [math]\displaystyle{ N }[/math] не факторизуется в произведение простых множителей (то есть [math]\displaystyle{ N }[/math] - простое число), то данный алгоритм не применим. На замену ему приходит алгоритм Радера, имеющий худшую асимптотику, нежели обычный БПФ, но лучшую чем [math]\displaystyle{ O(N^2) }[/math]. Также алгоритм Радера потребует дополнительного взаимодействия процессоров, что приведет к ухудшению эффективности.

Макроструктура алгоритма

Макроструктура БПФ для случая [math]\displaystyle{ N = km }[/math] описывается рекурсивно:

1. [math]\displaystyle{ k }[/math] независимых преобразований векторов меньшей размерности [math]\displaystyle{ m }[/math]
2. Умножение элементов на поворотные коэффициенты ([math]\displaystyle{ N }[/math] умножений)
3. [math]\displaystyle{ m }[/math] обратных преобразований векторов размерностей [math]\displaystyle{ k }[/math]

Схема реализации последовательного алгоритма

Рекурсивный метод для случая [math]\displaystyle{ N = 2^k }[/math], без оптимизации на C++:

#include <vector>
#include <complex>

using namespace std;

typedef complex<double> cd;
typedef vector<cd> vcd;

vcd fft(const vcd &as) { 
  int n = as.size();
  if (n == 1) return vcd(1, as[0]);

  vcd w(n); // Calculate roots
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    double alpha = 2 * M_PI * i / n;
    w[i] = cd(cos(alpha), sin(alpha));
  }

  vcd A(n / 2), B(n / 2);
  for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
    A[i] = as[i * 2];
    B[i] = as[i * 2 + 1];
  }
  vcd Av = fft(A);
  vcd Bv = fft(B);
  vcd res(n);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    res[i] =   Av[i % (n / 2)] +
        w[i] * Bv[i % (n / 2)];
  return res;
}

В последовательном варианте можно бороться за улучшение константы сложности, предподсчитав значения соответствующих коэффициентов.

Последовательная сложность алгоритма

Алгоритм состоит из трех этапов, следовательно если [math]\displaystyle{ N = \prod_{i = 1}^np_i }[/math], то общая сложность составляет порядка [math]\displaystyle{ O(N\sum_{i=1}^np_i) }[/math] операций.

Пусть существует некоторое фиксированное число [math]\displaystyle{ P }[/math], такое что:

[math]\displaystyle{ p_i \leq P \quad \forall i = 1...n, }[/math]

тогда, учитывая, что [math]\displaystyle{ n \leq \log_{P}{N} }[/math], сложность алгоритма можно записать в виде [math]\displaystyle{ O(N\log{N}) }[/math].

Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф преобразования Кули-Тьюки для [math]\displaystyle{ N = km = 25, k = 5, m = 5 }[/math]. Желтые вершины - умножение на поворотные множители.

Ресурс параллелизма алгоритма

В силу независимости всех рекурсивных вызовов и того факта, что путь максимальной длины в графе (так называемый критический путь) имеет порядок [math]\displaystyle{ O(\log{N}) }[/math], можно утверждать, что параллельная сложность алгоритма составит [math]\displaystyle{ O(\log{N}) }[/math].

Замечание: формально основание логарифма на каждом рекурсивном шаге зависит от множителя в факторизации [math]\displaystyle{ N }[/math], потому использована О-символика.

При условии ограниченности количества доступных вычислительных узлов рекомендуется выбирать множители в разложении числа $N$ близкими к числу доступных узлов, таким образом доступные ресурсы будут использованы максимально эффективно.

Итого алгоритм относится к логарифмическому классу алгоритмов по параллельной сложности.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: Чаще всего для обработки сигналов в качестве входных данных для БПФ подается вектор размерности [math]\displaystyle{ N }[/math] вещественных элементов. Но БПФ работает и для случая элементов над комплексным полем. Таким образом, например, можно экономить на количестве применений БПФ в некоторой конкретной задаче путем приведения двух векторов вещественных чисел к одному вектору комплексных чисел с вещественной частью равной первому вектору и комплексной частью равной второму вектору: [math]\displaystyle{ x, y }[/math] - исходные сигналы. Обозначим [math]\displaystyle{ z = x + iy }[/math], а [math]\displaystyle{ F(k, x) }[/math] - это [math]\displaystyle{ k }[/math]-ый коэффициент образа Фурье вектора [math]\displaystyle{ x }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ F(k, x) = \frac{F(k, z) + F(k, \bar z)}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(k, y) = -i\frac{F(k, z) - F(k, \bar z)}{2} }[/math]

Учитывая, что [math]\displaystyle{ F(k, \bar z) = \overline{F(N - k, z)} }[/math], получаем:

[math]\displaystyle{ F(k, x) = \frac{F(k, z) + \overline{F(N-k, z)}}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(k, y) = -i\frac{F(k, z) - \overline{F(N-k,z)}}{2} }[/math]

Такой способ позволяет приблизительно в два раза уменьшить количество вычислений.

Выходные данные: Вектор размерности [math]\displaystyle{ N }[/math] комплексных чисел - спектр исходного сигнала.

Свойства алгоритма

Матрица Вандермонда преобразования [math]\displaystyle{ A = \{e^{-\frac{2\pi i}{N}(i - 1)(j - 1)}\}_{i,j=1}^{N} }[/math] такая, что:

[math]\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{N}A^* }[/math]

Таким образом обратное преобразование Фурье с точностью до нормирующего множителя и сопряжения элементов матрицы совпадает с прямым.

ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Рисунок 2. Время выполнения параллельной реализации БПФ в секундах. Size - число элементов массива. Р - число использованных процессоров.

Рисунок 3. Эффективность параллельной реализации БПФ. Size - число элементов массива. Р - число использованных процессоров. Эффективность в пределах от 0 до 1.

Как видно из графика, эффективность параллельной реализации резко падает с ростом количества используемых процессоров, связано это с увеличением количества накладных расходов.

Существующие реализации алгоритма

• Самая популярная библиотека для работы с преобразованиями Фурье это FFTW
• Реализация от Intel в рамках Math Kernel Library
• Реализация ДПФ на графических картах от NVidia - cuFFT

Литература

• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков. Г. М. — 6-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.
• Описание алгоритма на Википедии: Быстрое преобразование Фурье
• Материалы лекций по "Алгоритмам и структурам данных" Школы Анализа Данных Яндекса