Итерация алгоритма dqds

Алгоритм dqds нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ 5n-4 }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ 2n }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ 2n }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 4n-3 }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]

Основные авторы описания: А.Ю.Чернявский

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Итерация алгоритма dqds является одним шагом алгоритма dqds нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы.

Сам алгоритм dqds (differential quotient-difference algorithm with shifts) строит последовательность двухдиагональных матриц, сходящуюся к диагональной матрице, содержащей квадраты искомых сингулярных чисел. Его особенностью является высокая точность решения задачи. Вычислительным ядром алгоритма является именно внутренняя итерация, вне итераций происходит подбор сдвига [math]\displaystyle{ \delta }[/math] (параметер итерации, см. математическое описание алгоритма), отслеживание сходимости, а также применение различных оптимизационных "хитростей". Отметим, что внеитерационная часть алгоритма не существенна с точки зрения структуры вычислений, т.к. основные затраты ложатся на вычисления внутри итерации. Подробности и варианты внеитерационной части, а также анализ сходимости можно найти в соответствующей литературе .

Математическое описание алгоритма

Вспомогательные сведения

Для понимания математических основ dqds-итерации полезно рассмотреть кратко её вывод, частично отражающий и историю возникновения алгоритма (подробности можно найти в ). За основу dqds-алгоритма удобно взять так называемую LR-итерацию, предшествующую хорошо-известной QR-итерации. LR-алгоритм, начиная с входной матрицы [math]\displaystyle{ T_0\gt 0, }[/math] строит сходящуюся последовательность подобных [math]\displaystyle{ T_0 }[/math] матриц [math]\displaystyle{ T_i\gt 0, }[/math] итерационно используя следующие три шага:

1. Выбрать сдвиг [math]\displaystyle{ \tau_i }[/math] меньший младшего собственного значения [math]\displaystyle{ T_i. }[/math]
2. Вычислить разложение Холецкого [math]\displaystyle{ T_i-\tau^2_iI=B_i^TB_i, }[/math] где [math]\displaystyle{ B_i }[/math] - верхняя треугольная матрица с положительной диагональю.
3. [math]\displaystyle{ T_{i+1}=B_iB_i^T+\tau_i^2I. }[/math]

Отметим, что два шага LR-итерации с нулевым сдвигом эквивалентны одному шагу QR-итерации. Итерационная процедура приводит матрицу к диагональному виду, тем самым вычисляя собственные значения исходной матрицы. LR-алгоритм достаточно легко может быть переформулирован с заметными упрощениями для задачи поиска сингулярных значений двухдиагональных матриц. А именно, будем вычислять последовательность двухдиагональных матриц [math]\displaystyle{ B_i }[/math] без непосредственного вычисления [math]\displaystyle{ T_i }[/math](которые в данном случае будут трехдиагональными). Пусть матрица [math]\displaystyle{ B_i }[/math] имеет диагональные элементы [math]\displaystyle{ a_1 \ldots a_n }[/math] и наддиагональные элементы [math]\displaystyle{ b_1 \ldots b_{n-1} }[/math], а матрица [math]\displaystyle{ B_{i+1} }[/math] - диагональные элементы [math]\displaystyle{ \widehat{a}_1 \ldots \widehat{a}_n }[/math] и наддиагональные элементы [math]\displaystyle{ \widehat{b}_1 \ldots \widehat{b}_{n-1}. }[/math] Тогда шаг LR-итерации в терминах матриц [math]\displaystyle{ B_i }[/math] можно привести к простому циклу, пробегающему значения [math]\displaystyle{ j }[/math] от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n-1: }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{a}^2_j = a^2_j+b^2_j-\widehat{b}^2_{j-1}-\delta }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{b}^2_j = b^2_j\dot (a^2_{j+1}/a^2_j) }[/math]

и вычислению [math]\displaystyle{ \widehat{a}^2_n = a^2_n-\widehat{b}^2_{n-1}-\delta. }[/math] Очевидно, что работу с извлечением квадратов выгодно вести лишь после окончания работы алгоритма, поэтому можно ввести замену [math]\displaystyle{ q_j=a^2_j,\; e_j=b^2, }[/math] что в итоге приводит к так называемому алгоритму qds. Формулы алгоритма следующие:

[math]\displaystyle{ \widehat{q}_j = q_j + e_j - \widehat{e}_{j-1} - \delta, \quad j \in [1,n-1] }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{e}_j = e_j \cdot q_{j+1} / \widehat{q}_j, \quad j \in [1,n-1] }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{q}_n = q_n - \widehat{e}_{n-1} - \delta. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ q_j, \; j \in [1,n] }[/math] и [math]\displaystyle{ e_j, \; j \in [1,n-1] }[/math] - квадраты элемнтов главной и верхней побочной диагонали соответственно. Крышка означает выходные переменные, а

[math]\displaystyle{ \delta }[/math] - сдвиг (параметр алгоритма). Такая математическая запись наиболее компактна и соответствует так называемой qds-итерации.

Математическое описание итерации алгоритма dqds

Представим теперь математическую запись, приближенную к dqds-итерации (с математической точки зрения qds и dqds-итерации эквивалентны) с введенными вспомогательными переменными

[math]\displaystyle{ t_j }[/math] и [math]\displaystyle{ d_j. }[/math] Итерация алгоритма dqds преобразует входную двухдиагональную матрицу [math]\displaystyle{ B }[/math] в выходную [math]\displaystyle{ \widehat{B}. }[/math]

Входные и выходные данные: [math]\displaystyle{ q_{j}, \; j\in [1,n], \; e_{k}, \; k\in [1,n-1] }[/math] - квадраты элементов главной и побочной диагонали входной матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ \widehat{q}_j , \; \widehat{e}_k }[/math] - то же для вычисляемой матрицы [math]\displaystyle{ \widehat{B}. }[/math].

Формулы метода выглядят следующим образом:

[math]\displaystyle{ d_1 = q_1 - \delta, \; q_n = d_n }[/math]

для[math]\displaystyle{ \quad j\in [1,n-1]: }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{q}_j = d_j + e_j }[/math]

[math]\displaystyle{ t_j = q_{j+1}/\widehat{q}_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{e}_j=e_j \cdot t_j }[/math]

[math]\displaystyle{ d_{j+1} = d \cdot t - \delta }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма является последовательный расчёт квадратов диагональных ([math]\displaystyle{ \widehat{q}_j }[/math]) и внедиагональных ([math]\displaystyle{ \widehat{e}_k }[/math]) элементов выходной матрицы. Учитывая использование вспомогательных переменных расчёт каждой новой пары содержит по одной операции сложения, вычитания и деления, а также две операции умножения.

Макроструктура алгоритма

Алгоритм состоит из отдельного вычисления начального значения вспомогательной переменной [math]\displaystyle{ d, }[/math] последующим (n-1)-кратным выполнением повторяющейся последовательности из 5 операций (+,/,*,*,-) для вычисления квадратов диагональных ([math]\displaystyle{ \widehat{q}_j }[/math]) и внедиагональных ([math]\displaystyle{ \widehat{e}_k }[/math]) элементов выходной матрицы и завершающего вычислением крайнего значения [math]\displaystyle{ \widehat{q}_n }[/math].

Схема реализации последовательного алгоритма

Отметим, что выходные данные сразу могут быть записаны на место входных (это учтено в схеме), также для хранения вспомогательных переменных [math]\displaystyle{ t_j }[/math] и [math]\displaystyle{ d_j }[/math] достаточно двух перезаписываемых переменных. Таким образом элементы главной ([math]\displaystyle{ q_j }[/math]) и побочной ([math]\displaystyle{ e_k }[/math]) диагонали входной матрицы последовательно перезаписываются соответствующими элементами выходной матрицы.

Последовательность исполнения метода следующая:

1. Вычисляется начальное значение вспомогательной переменной [math]\displaystyle{ d = q_1-\delta. }[/math]

2. Производится цикл по j от 1 до n-1, состоящий из:

2.1 Вычисляется значение [math]\displaystyle{ q_j = d + e_j; }[/math]

2.2 Вычисляется значение вспомогательной переменной [math]\displaystyle{ t = q_{j+1}/q_j; }[/math]

2.3 Вычисляется значение [math]\displaystyle{ e_j = e_j \cdot t; }[/math]

2.4 Вычисляется значение вспомогательной переменной [math]\displaystyle{ d = d \cdot t - \delta. }[/math]

3. Вычисляется [math]\displaystyle{ q_n = d. }[/math]

Легко заметить, что можно представить вычисления в другой форме, например, в виде qds-итерации (см. Математическое описание dqds-итерации), однако, именно dqds реализация вычисления позволяет достичь высокой точности.

Последовательная сложность алгоритма

Для выполнения одной итерации dqds необходимо выполнить:

• [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] делений,
• [math]\displaystyle{ 2n-2 }[/math] умножений,
• [math]\displaystyle{ 2n-1 }[/math] сложений/вычитаний.

Таким образом одна dqds-итерация имеет линейную сложность.

Информационный граф

Рисунок 1. Граф алгоритма для n=4 без отображения входных и выходных данных.

Ресурс параллелизма алгоритма

Как видно из информационного графа алгоритма, на каждом шаге основного цикла возможно лишь параллельное выполнение операции умножения (2.2) и умножения+сложения (2.4). Это позволяет сократить число ярусов на одной итерации цикла c 5 до 4, а общее число ярусов алгоритма с 5n-4 до 4n-3. Ярусы с операциями умножения состоят из двух операций, остальные же из одной.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: Квадраты элементов основной и верхней побочной диагонали двухдиагональной матрицы (вектора [math]\displaystyle{ q }[/math] длины n и [math]\displaystyle{ e }[/math] длины n-1), а также параметр сдвига [math]\displaystyle{ \delta }[/math].

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ 2n }[/math].

Выходные данные: Квадраты элементов основной и верхней побочной диагонали выходной двухдиагональной матрицы.

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ 2n-1 }[/math].

Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности при наличии возможности параллельного выполнения операций умножения составляет [math]\displaystyle{ \frac{5n-4}{4n-3} }[/math], т.е. алгоритм плохо распараллеливается.

Вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных - константа.

Описываемый алгоритм является полностью детерминированным.

Программная реализация алгоритмов

Особенности реализации последовательного алгоритма

Алгоритм на языке Matlab может быть записать так:

d = q(1)-delta;
for j = 1:n-1
    q(j)=d+e(j);
    t=q(j+1)/q(j);
    e(j) = e(j)*t;
    d = d*t-delta;
end
q(n) = d;

Как говорилось в cхеме реализации последовательного алгоритма, вычисляемые данные записываются сразу на место входных.

Локальность данных и вычислений

Легко видеть, что локальность данных высока. Её легко повысить, размещая рядом соответствующие элементы массивов e и q, однако, это не оказывает существенного влияния на производительность в силу константного количества операций относительно объема обрабатываемых данных.

Локальность реализации алгоритма

Структура обращений в память и качественная оценка локальности

Рисунок 2. Итерация алгоритма dqds. Общий профиль обращений в память

На рис. 2 представлен профиль обращений в память для реализации итерации алгоритма dqds. Данный профиль внешне устроен очень просто и состоит из двух параллельно выполняемых последовательных переборов. Отметим, что общее число обращений в память всего в 3 раза больше числа задействованных данных, что говорит о том, что данные повторно используют редко. Зачастую это сигнализирует о достаточно невысокой локальности.

Рассмотрим более детально строение одного из переборов (второй устроен практически идентично). На рис. 3 показан выделенный на рис. 2 небольшой фрагмент 1. Видно, что на каждом шаге в данном переборе выполняется три обращения в память; подобное строение говорит о высокой пространственной локальности, однако низкой временной, поскольку данные повторно используются только по 3 раза.

Поскольку данная структура обращений и составляет общий профиль, то же самое можно говорить и о локальности всего профиля.

Рисунок 3. Профиль обращений, фрагмент 1

Количественная оценка локальности

Оценка выполняется на основе характеристики daps, которая оценивает число выполненных обращений (чтений и записей) в память в секунду. Данная характеристика является аналогом оценки flops применительно к работе с памятью и является в большей степени оценкой производительности взаимодействия с памятью, чем оценкой локальности. Однако она служит хорошим источником информации, в том числе для сравнения с результатами по следующей характеристике cvg.

На рисунке 4 приведены значения daps для реализаций распространенных алгоритмов, отсортированные по возрастанию (чем больше daps, тем в общем случае выше производительность). Результат получен достаточно неожиданный – производительность работы с памятью очень невелика. Оценка daps для данного профиля сравнима с реализациями самых неэффективных алгоритмов в части работы с памятью – тестов RandomAccess и неэффективных вариантов обычного перемножения матриц. Отчасти это может объясняться низкой временной локальностью. Однако в данном случае причина может также заключаться в том, что в данной реализации объем вычислений на одно обращение в память достаточно велик, что может приводить к недостаточной загруженности подсистемы памяти. В таком случае, несмотря на в целом неплохую эффективность работы с памятью, производительность будет достаточно низка.

Рисунок 4. Сравнение значений оценки daps

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Итерация dqds практически полностью последовательна. Единственная возможность - одновременное выполнение операции умножения (2.3) и операции (2.4) умножения и сложения, что дает небольшой выигрыш в производительности.

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Алгоритм не является масштабируемым, максимального эффекта ускорения можно добиться на двух независимых процессорах.

Проведём исследование масштабируемости вширь реализации согласно методике. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов-2" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров 1;
• размер матрицы [1000 : 260000] с шагом 500.

В результате проведённых экспериментов был получен следующий диапазон эффективности реализации алгоритма:

• минимальная эффективность реализации 2.559e-06%;
• максимальная эффективность реализации 2.492e-08%.

На следующих рисунках приведены графики производительности и эффективности выбранной реализации DQDS в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рисунок 8. Параллельная реализация алгоритма dqds. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.

Рисунок 9. Параллельная реализация алгоритма dqds. Изменение эффективности в зависимости от числа процессоров и размера матрицы.

Исследованная параллельная реализация на языке C

Выводы для классов архитектур

Эффективное выполнение алгоритма возможно только на вычислительных устройствах с одним или двумя ядрами.

Существующие реализации алгоритма

Сам алгоритм dqds реализован в функции xBDSQR пакета LAPACK и используется при её вызове без расчёта сингулярных векторов.