Прогонка, точечный вариант: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) |
Frolov (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 38: | Строка 38: | ||
</math> | </math> | ||
Часто, однако, при изложении сути метода прогонки<ref>Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.</ref> элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид (<math>N=n+1</math>) | Часто, однако, при изложении сути метода прогонки<ref name="SETKI">Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.</ref> элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид (<math>N=n+1</math>) | ||
:<math> | :<math> | ||
| Строка 66: | Строка 66: | ||
-a_{N} y_{N-1} + c_{N} y_{N} = f_{N} | -a_{N} y_{N-1} + c_{N} y_{N} = f_{N} | ||
</math> | </math> | ||
Суть метода - в исключении из уравнений неизвестных, сначала - сверху вниз - под диагональю, а потом - снизу вверх - над диагональю. | |||
=== Математическое описание === | === Математическое описание === | ||
| Строка 82: | Строка 84: | ||
y_{i} = \alpha_{i+1} y_{i+1} + \beta_{i+1}, \quad i = N-1, N-2, \cdots , 1, 0. | y_{i} = \alpha_{i+1} y_{i+1} + \beta_{i+1}, \quad i = N-1, N-2, \cdots , 1, 0. | ||
</math> | </math> | ||
В литературе<ref name="SETKI" /> указывается, что данные формулы эквиваленты вычислению одного из <math>LU</math>-разложений матрицы системы с последующим решением двухдиагональных систем методом обратной подстановки. | |||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
=== Макроструктура алгоритма === | === Макроструктура алгоритма === | ||
Версия от 07:53, 16 июля 2015
| Прогонка для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]\displaystyle{ 8n-7 }[/math] |
| Объём входных данных | [math]\displaystyle{ 4n-2 }[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\displaystyle{ n }[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ O(n) }[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
Основные авторы описания: А.В.Фролов
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Прогонка - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ[1][2] вида [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где
- [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} }[/math]
Часто, однако, при изложении сути метода прогонки[3] элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид ([math]\displaystyle{ N=n+1 }[/math])
- [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} c_{0} & -b_{0} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -a_{1} & c_{1} & -b_{1} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -a_{2} & c_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & -a_{N-1} & c_{N-1} & -b_{N-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_{N} & c_{N} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{N} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{0} \\ f_{1} \\ \vdots \\ f_{N} \\ \end{bmatrix} }[/math]
или, если записывать отдельно по уравнениям, то
- [math]\displaystyle{ c_{0} y_{0} - b_{0} y_{1} = f_{0},\\ -a_{i} y_{i-1} + c_{i} y_{i} - b_{i} y_{i+1} = f_{i}, 1 \le i \le N-1, \\ -a_{N} y_{N-1} + c_{N} y_{N} = f_{N} }[/math]
Суть метода - в исключении из уравнений неизвестных, сначала - сверху вниз - под диагональю, а потом - снизу вверх - над диагональю.
Математическое описание
В приведённых обозначениях в прогонке сначала выполняют её прямой ход - вычисляют коэффициенты
- [math]\displaystyle{ \alpha_{1} = b_{0}/c_{0},\\ \beta_{1} = f_{0}/c_{0}, \\ \alpha_{i+1} = b_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \quad i = 1, 2, \cdots , N-1, \\ \beta_{i+1} = (f_{i}+a_{i}\beta_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \quad i = 1, 2, \cdots , N. }[/math]
после чего вычисляют решение с помощью обратного хода
- [math]\displaystyle{ y_{N} = \beta_{N+1}, \\ y_{i} = \alpha_{i+1} y_{i+1} + \beta_{i+1}, \quad i = N-1, N-2, \cdots , 1, 0. }[/math]
В литературе[3] указывается, что данные формулы эквиваленты вычислению одного из [math]\displaystyle{ LU }[/math]-разложений матрицы системы с последующим решением двухдиагональных систем методом обратной подстановки.