Алгоритм Прима: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Daryin (обсуждение | вклад) |
ASA (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Свойства и структура | == Свойства и структура алгоритма == | ||
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
'''Алгоритм Прима'''<ref>Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.</ref><ref>Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.</ref> предназначен для решения [[Построение минимального остовного дерева (MST)|задачи о построении минимального остовного дерева]] во взвешенном неориентированном графе. | '''Алгоритм Прима'''<ref>Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.</ref><ref>Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.</ref> предназначен для решения [[Построение минимального остовного дерева (MST)|задачи о построении минимального остовного дерева]] во взвешенном неориентированном графе. | ||
=== Математическое описание === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Пусть задан связный неориентированный граф <math>G = (V, E)</math> с весами рёбер <math>f(e)</math>. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру). | Пусть задан связный неориентированный граф <math>G = (V, E)</math> с весами рёбер <math>f(e)</math>. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру). | ||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
=== Макроструктура алгоритма === | === Макроструктура алгоритма === | ||
=== | === Схема реализации последовательного алгоритма === | ||
=== Последовательная сложность алгоритма === | === Последовательная сложность алгоритма === | ||
| Строка 28: | Строка 28: | ||
=== Информационный граф === | === Информационный граф === | ||
=== | === Ресурс параллелизма алгоритма === | ||
=== | === Входные и выходные данные алгоритма === | ||
=== Свойства алгоритма=== | === Свойства алгоритма === | ||
== Программная реализация | |||
== Программная реализация алгоритма == | |||
=== Особенности реализации последовательного алгоритма === | === Особенности реализации последовательного алгоритма === | ||
=== | === Локальность данных и вычислений === | ||
=== Возможные способы и особенности реализации | ==== Локальность реализации алгоритма ==== | ||
===== Структура обращений в память и качественная оценка локальности ===== | |||
===== Количественная оценка локальности ===== | |||
=== Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма === | |||
=== Масштабируемость алгоритма и его реализации === | === Масштабируемость алгоритма и его реализации === | ||
==== Масштабируемость алгоритма ==== | |||
==== Масштабируемость реализации алгоритма ==== | |||
=== Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма === | === Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма === | ||
=== Выводы для классов архитектур === | === Выводы для классов архитектур === | ||
| Строка 46: | Строка 52: | ||
<references /> | <references /> | ||
[[Категория:Начатые статьи]] | |||
Версия от 11:16, 29 июля 2015
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм Прима[1][2] предназначен для решения задачи о построении минимального остовного дерева во взвешенном неориентированном графе.
Математическое описание алгоритма
Пусть задан связный неориентированный граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] с весами рёбер [math]\displaystyle{ f(e) }[/math]. Предполагается, что веса всех рёбер различны (если это не так, то можно упорядочить рёбра сначала по весу, а потом по номеру).
Алгоритм Прима основан на следующих двух свойствах задачи:
- Минимальное ребро фрагмента. Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] – фрагмент минимального остовного дерева и [math]\displaystyle{ e_F }[/math] – ребро наименьшего веса, исходящее из [math]\displaystyle{ F }[/math] (т.е. ровно один его конец является вершиной из [math]\displaystyle{ F }[/math]). Если ребро [math]\displaystyle{ e_F }[/math] единственно, то оно принадлежит минимальному остовному дереву.
- Схлопывание фрагментов. Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] – фрагмент минимального остовного дерева графа [math]\displaystyle{ G }[/math], а граф [math]\displaystyle{ G' }[/math] получен из [math]\displaystyle{ G }[/math] склеиванием вершин, принадлежащих [math]\displaystyle{ F }[/math]. Тогда объединение [math]\displaystyle{ F }[/math] и минимального остовного дерева графа [math]\displaystyle{ G' }[/math] даёт минимальное остовное дерево исходного графа [math]\displaystyle{ G }[/math].
В начале работы алгоритма создаётся фрагмент, содержащий одну произвольную вершину графа. На каждом шаге выбирается ребро минимального веса, исходящее из текущего фрагмента. Это ребро помещается в минимальное остовное дерево, а его конец добавляется в текущий фрагмент. Процесс останавливается, когда у текущего фрагмента не остаётся исходящих рёбер. Тогда выбирается одна из ранее не посещённых вершин графа, и начиная с неё «выращивается» новый фрагмент. Алгоритм прекращает работу, когда посещены все вершины графа.
Вычислительное ядро алгоритма
Макроструктура алгоритма
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Основной объём вычислений в алгоритме Прима приходится на поддержание набора рёбер, выходящих из текущего фрагмента. Необходимо добавлять новые рёбра или вершины в набор, и находить ребро с наименьшим весом.
- При использовании списков вершин сложность [math]\displaystyle{ O(n^2) }[/math].
- При использовании бинарной кучи рёбер сложность [math]\displaystyle{ O(m \ln m) }[/math].
- При использовании бинарной кучи вершин и сортировке рёбер у каждой вершины сложность [math]\displaystyle{ O(m \ln n) }[/math].
- При использовании быстрой кучи[3] сложность [math]\displaystyle{ O(m + n \ln^2 n) }[/math].
- При использовании фибоначчиевой кучи[4] сложность [math]\displaystyle{ O(m + n \ln n) }[/math].
Информационный граф
Ресурс параллелизма алгоритма
Входные и выходные данные алгоритма
Свойства алгоритма
Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Локальность реализации алгоритма
Структура обращений в память и качественная оценка локальности
Количественная оценка локальности
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Масштабируемость алгоритма и его реализации
Масштабируемость алгоритма
Масштабируемость реализации алгоритма
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Выводы для классов архитектур
Существующие реализации алгоритма
- C++: Boost Graph Library (функция
prim_minimum_spanning_tree), сложность [math]\displaystyle{ O(m \ln n) }[/math]. - Java: JGraphT (класс
PrimMinimumSpanningTree).
Литература
- ↑ Prim, R C. “Shortest Connection Networks and Some Generalizations.” Bell System Technical Journal 36, no. 6 (November 1957): 1389–1401. doi:10.1002/j.1538-7305.1957.tb01515.x.
- ↑ Dijkstra, E W. “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.” Numerische Mathematik 1, no. 1 (December 1959): 269–71. doi:10.1007/BF01386390.
- ↑ Navarro, Gonzalo, and Rodrigo Paredes. “On Sorting, Heaps, and Minimum Spanning Trees.” Algorithmica 57, no. 4 (March 23, 2010): 585–620. doi:10.1007/s00453-010-9400-6.
- ↑ Fredman, Michael L, and Robert Endre Tarjan. “Fibonacci Heaps and Their Uses in Improved Network Optimization Algorithms.” Journal of the ACM 34, no. 3 (July 1987): 596–615. doi:10.1145/28869.28874.