Алгоритм Тарьяна-Вишкина поиска компонент двусвязности

Алгоритм Тарьяна-Вишкина поиска компонент двусвязности/мостов в графе
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(|V| + |E|) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ O(|V| + |E|) }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ max O(|V|) }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ N/A }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(|V|) }[/math]

Основные авторы описания: И.В.Афанасьев

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина находит компоненты двухсвязности неориентированного графа за время [math]\displaystyle{ O(\ln |V|) }[/math] на [math]\displaystyle{ O(|V| + |E|) }[/math] процессорах. Алгоритм может быть адаптирован для поиска мостов. Эффективность алгоритма Тарьяна-Вишкина подтверждена в последнее время как на системах архитектуры SMP, так и при вычислениях на GPU.

Математическое описание алгоритма

1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]\displaystyle{ T }[/math].

2. Перенумеровать вершины [math]\displaystyle{ T }[/math] в порядке обратного обхода.

3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:

a. [math]\displaystyle{ D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) }[/math]

b. [math]\displaystyle{ L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} } }[/math]

c. [math]\displaystyle{ H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} } }[/math]

d. Пометить ребро [math]\displaystyle{ v \rightarrow w }[/math] мостом, если [math]\displaystyle{ H(w)\lt =N(w) }[/math] и [math]\displaystyle{ L(w)\gt N(w)-D(w) }[/math].

Макроструктура алгоритма

На первом шаге работы алгоритма строится остовный лес графа с использованием модифицированного алгоритма Шилоаха-Вишкина.

Для этого для каждой вершины [math]\displaystyle{ v }[/math] определяется указатель на родительскую вершину [math]\displaystyle{ P(v) }[/math]; на шаге инициализации [math]\displaystyle{ P(v):=v }[/math]. Далее остовный лес строится чередованием двух параллельных операций:

• Удвоение указателей: [math]\displaystyle{ P(v):=P(P(v)) }[/math] ;

• Соединение: [math]\displaystyle{ P(P(v)):=P(w) }[/math], где [math]\displaystyle{ v }[/math] – вершина [math]\displaystyle{ P }[/math]-дерева ( [math]\displaystyle{ P(v)=v }[/math]на текущем шаге), [math]\displaystyle{ w }[/math]– некоторая вершина, для которой существует ребро [math]\displaystyle{ (v,w)\in E }[/math]. Ребро помечается, как принадлежащее остовному лесу .

Далее производятся следующие шаги:

• перенумерация вершин в обратном порядке обхода (post-order);

• вычисление количества потомков [math]\displaystyle{ D(v) }[/math] для каждой вершины;

• вычисление значений [math]\displaystyle{ L(v) }[/math] и [math]\displaystyle{ H(v) }[/math] для каждой вершины;

• пометка рёбер [math]\displaystyle{ v \rightarrow w }[/math] мостами, если [math]\displaystyle{ H(w)\lt =N(w) }[/math] и [math]\displaystyle{ L(w)\gt N(w)-D(w) }[/math].

Основной идеей для обеспечения завершения работы алгоритма за [math]\displaystyle{ O( \ln |V|) }[/math] шагов является систематическое использование операции удвоения указателей.

Последовательная сложность алгоритма

Последовательный вариант алгоритма аналогичен алгоритму Тарьяна и имеет линейную сложность [math]\displaystyle{ O(|E| + |V|) }[/math].

Информационный граф

Далее на рисунке 1 представлен информационный граф алгоритма, демонстрирующий его основные уровни параллелизма.

Рисунок 1 – Информационный граф алгоритма Тарьяна-Вышкина

В начале работы производится инциализация связанных компонент графа [1] и выделение тривиальных компонент (размера 1 и 2) [2], затем инициализация уровней для всех вершин [3] и последовательные поиски в ширину [4],[BFS] до тех пор, пока все вершины не будут размечены различными уровнями.

Далее происходит поиск ребер, которые войдут в остовное дерево [5] и последовательное построение данного дерева на основе поиска в глубину [6],[7]. Затем друг за другом вычисляются необходимые метрики для каждой их вершин L, H и D [8],[9]. В конце на основе данных метрик вычисляются мосты в графе [10].

Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм изначально параллельный, время работы [math]\displaystyle{ O(\ln(|V|)) }[/math] на [math]\displaystyle{ O(|V| + |E|) }[/math] процессорах.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: граф [math]\displaystyle{ G(V, E) }[/math] ([math]\displaystyle{ |V| }[/math] вершин [math]\displaystyle{ v_i }[/math] и [math]\displaystyle{ |E| }[/math] рёбер [math]\displaystyle{ e_j = (v^{(1)}_{j}, v^{(2)}_{j}) }[/math].

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ O(|V| + |E|) }[/math].

Выходные данные

Список ребер, являющихся мостами в графе.

Объём выходных данных:

1. [math]\displaystyle{ O(|E|) }[/math] в случае хранения массива принадлежности каждого ребра к множеству мостов в графе

2. [math]\displaystyle{ max O(|V|) }[/math] в случае хранения мостов в виде списка пар вершин

Свойства алгоритма

1. Компонента сильной связности – подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.

2. Компонента сильной связности является объединением всех циклом, проходящих через её вершины.

Программная реализация алгоритма

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Программа, реализующая алгоритм Тарьяна-Вышкина, состоит из двух частей: CPU части, отвечающей за параллельные вычисления на многоядерных CPU, а так же копирование данных на GPU и общее управлениями вычислениями, и GPU части, отвечающей только за вычисления на графическом ускорителе.

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Масштабируемость реализации алгоритма

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма Тарьяна-Вишкина согласно методике. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов-2 Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.

Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• размер графа [2^18 : 2^26].

Проведем отдельные исследования масштабируемости вширь реализации алгоритма Тарьяна-Вишкина.

Основной характеристикой для сравнения было выбрано время выполнения, так как производительность (определения как TEPS то есть число ребер графа, которое алгоритм обрабатывает в секунду) для данной операции не отражает реальную эффективность обработки.

Анализируя время выполнения можно оценить, насколько понижается эффективность обработки графа при увеличении его размера (данные перестают помещаться в кэш, в память GPU, узла и т.д.).

Рисунок 2. Параллельная реализация алгоритма Тарьяна-Вишкина масштабируемость вширь: производительность в зависимости от размера графа