Участник:Bormas

Задача

Пусть [math]\displaystyle{ X_1, X_2,...X_n }[/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], для которой при [math]\displaystyle{ x \to +\infty }[/math] имеет место следующее представление:[math]\displaystyle{ F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} }[/math], где [math]\displaystyle{ C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta }[/math].

Методом статистического анализа показать, что [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 }[/math] и найти коэффициенты [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math].

Построить гистограмму статистики [math]\displaystyle{ T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} }[/math] для функции [math]\displaystyle{ F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+2)\sqrt{\ln{(x+2)}}}, x \gt 0 }[/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.

Решение

Рассмотрим [math]\displaystyle{ \frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ F(x) \in MDA(\Phi_\alpha) }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n} }[/math]

Будем искать [math]\displaystyle{ \ln{a_n} }[/math] в виде:

[math]\displaystyle{ \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{r_n} - (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{c} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{(\ln{n}+\ln{r_n})} = \ln{\ln{n}} + ln{(1 + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}})} = \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \frac{\overline{O}(\ln{r_n})}{\ln{n}} = \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \overline{O}(1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{r_n} - (\beta - 1)[-\ln{\alpha} + \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \overline{O}(1)] - \ln{C} = 0 }[/math], учитывая [math]\displaystyle{ \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} = \overline{O}(1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{r_n} = -(\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \ln{C} + \overline{O}(1) = (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \overline{O}(1) + \ln{\tilde{C}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \tilde{C} = C\alpha^{1 - \beta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \ln{\tilde{C}}) = \ln{(n(\ln{n})^{\beta-1}\tilde{C})^{\frac{1}{\alpha}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = (\frac{n(\ln{n})^{\beta-1}C}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}} }[/math]