Участник:Bormas

Задача

Пусть [math]\displaystyle{ X_1, X_2,...X_n }[/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], для которой при [math]\displaystyle{ x \to +\infty }[/math] имеет место следующее представление:[math]\displaystyle{ F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} }[/math], где [math]\displaystyle{ C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta }[/math].

Методом статистического анализа показать, что [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 }[/math] и найти коэффициенты [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math].

Построить гистограмму статистики [math]\displaystyle{ T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} }[/math] для функции [math]\displaystyle{ F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+1)\sqrt{\ln{(x+1)}}}, x \gt 1 }[/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.

Решение

Обозначим за [math]\displaystyle{ \overline{F}(x) = 1 - F(x) }[/math] Рассмотрим [math]\displaystyle{ \frac{\overline{F}(tx)}{\overline{F}(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ F(x) \in MDA(\Phi_\alpha) }[/math], то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше

Теперь найдем [math]\displaystyle{ a_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n} }[/math]

Будем искать [math]\displaystyle{ \ln{a_n} }[/math] в виде: [math]\displaystyle{ \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{r_n} \simeq \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})} }[/math] - подставляем это в [math]\displaystyle{ \ln{a_n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}} }[/math]

В частном случае (из функции распределения):

[math]\displaystyle{ C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2} }[/math] - находятся путём подставления в [math]\displaystyle{ \overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ P(X_n^{(n)} \lt xa_n) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Downarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ P(\frac{X_n^{(n)}}{a_n} \lt x) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} }[/math] - предельная функция распределения статистики

А сама статистика [math]\displaystyle{ \frac{X_n^{(n)}}{a_k} }[/math] находится следующим образом:

1) Сначала генерируем какое-то количество случайных величин [math]\displaystyle{ X_1, X_2,..., X_n }[/math]

2) Далее берем [math]\displaystyle{ X_n^{(n)} = X_n }[/math], то есть максимально возможный элемент выборки

3) Затем делим [math]\displaystyle{ X_n^{(n)} }[/math] на [math]\displaystyle{ a_k }[/math], получая наш первый элемент статистики [math]\displaystyle{ \frac{X_n^{(n)}}{a_1} }[/math]

4) Далее повторяем пункты 1) - 3) и чем больше статистик мы сгенерируем, тем более точная будет гистограмма

Затем нам нужно сравнить гистограмму статистики с функцией предельного распределения, и тут как раз имеет смысл распараллеливание.

Распараллеливание

Для того, чтобы задача работала быстрее, имеет смысл создание каждого элемента статистики вынести на отдельные ядра. Самым трудоемким процессом является процесс создания случайной величины из наперед заданной функции распределения.