Участник:Anastasy/Алгоритм Диница

Постановка задачи

Общее описание алгоритма

Алгоритм Диница — полиномиальный алгоритм, предназначенный для поиска максимального потока в транспортной сети. Он был предложен советским учёным Ефимом Диницем в 1970 году. Временная сложность алгоритма [math]\displaystyle{ O(nm^2) }[/math]. Достижение этой оценки стало возможно благодаря введению понятий блокирующего потока и слоистой сети.

Основная идея алгоритма состоит в том, чтобы итеративно увеличивать величину потока вдоль некоторых путей из истока в сток. Алгоритм Диница схож с алгоритмом Эдмондса-Карпа, но основное отличие можно понимать так: на каждой итерации поток увеличивается не вдоль одного кратчайшего пути из истока в сток, а вдоль целого набора таких путей (ведь именно такими путями и являются пути в блокирующем потоке слоистой сети).

Идея алгоритма состоит в следующем. Сначала величине потока присваивается 0: [math]\displaystyle{ f(u, v)=0 }[/math] для любых [math]\displaystyle{ u, v \in V }[/math].

Алгоритм представляет собой несколько фаз. На каждой фазе сначала строится остаточная сеть, затем по отношению к ней строится слоистая сеть (обходом в ширину), а в ней ищется произвольный блокирующий поток. Найденный блокирующий поток прибавляется к текущему потоку, и на этом очередная итерация заканчивается.

Математическое описание алгоритма

Математическая постановка задачи приведена в статье ..., мы будем использовать введённые в ней обозначения.

Введём необходимые определения.

Остаточной сетью [math]\displaystyle{ G^R }[/math] по отношению к сети [math]\displaystyle{ G }[/math] и некоторому потоку [math]\displaystyle{ f }[/math] в ней называется сеть, в которой каждому ребру [math]\displaystyle{ (u,v) \in G }[/math] с пропускной способностью [math]\displaystyle{ c_{uv} }[/math] и потоком [math]\displaystyle{ f_{uv} }[/math] соответствуют два ребра:

• [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math] с пропускной способностью [math]\displaystyle{ c_{uv}^R = c_{uv} - f_{uv} }[/math]
• [math]\displaystyle{ (v,u) }[/math] с пропускной способностью [math]\displaystyle{ c_{vu}^R = f_{uv} }[/math]

Стоит отметить, что при таком определении в остаточной сети могут появляться кратные рёбра: если в исходной сети было как ребро [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math], так и [math]\displaystyle{ (v,u) }[/math].