Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ): различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| Строка 4: | Строка 4: | ||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Рассмотрим систему уравнений <math> Ax = b </math>, где <math> A^* = A > 0 </math>. | Рассмотрим систему уравнений <math> Ax = b </math>, где <math> A^* = A > 0 </math>. \n | ||
Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)}, x = x^{(0)} + u </math>. | Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)}, x = x^{(0)} + u </math>. | ||
Версия от 18:55, 21 октября 2017
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.
Математическое описание алгоритма
Рассмотрим систему уравнений [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A^* = A \gt 0 }[/math]. \n Выберем произвольное начальное приближение [math]\displaystyle{ x^{(0)} }[/math] и перейдем к редуцированной системе [math]\displaystyle{ Au = r^{(0)} }[/math], где [math]\displaystyle{ r^{(0)} = b - Ax^{(0)}, x = x^{(0)} + u }[/math].