Алгоритм Флойда-Уоршелла: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
| Строка 2: | Строка 2: | ||
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
'''Алгоритм Флойда-Уоршелла'''<ref>Roy, Bernard. “Transitivité Et Connexité.” Comptes Rendus De l'Académie Des Sciences 249 (1959): 216–218.</ref><ref>Warshall, Stephen. “A Theorem on Boolean Matrices.” Journal of the ACM 9, no. 1 (January 1, 1962): 11–12. doi:10.1145/321105.321107.</ref><ref>Floyd, Robert W. “Algorithm 97: Shortest Path.” Communications of the ACM 5, no. 6 (June 1, 1962): 345. doi:10.1145/367766.368168.</ref> предназначен для решения [[Поиск кратчайшего пути для всех пар вершин (APSP)|задачи поиска всех кратчайших путей на графе]]. Для заданного ориентированного взвешенного графа алгоритм находит кратчайшие расстояния между всеми парами вершин за время <math>O(n^3)</math>. Алгоритм распознаёт наличие отрицательных циклов. | '''Алгоритм Флойда-Уоршелла'''<ref>Roy, Bernard. “Transitivité Et Connexité.” Comptes Rendus De l'Académie Des Sciences 249 (1959): 216–218.</ref><ref>Warshall, Stephen. “A Theorem on Boolean Matrices.” Journal of the ACM 9, no. 1 (January 1, 1962): 11–12. doi:10.1145/321105.321107.</ref><ref>Floyd, Robert W. “Algorithm 97: Shortest Path.” Communications of the ACM 5, no. 6 (June 1, 1962): 345. doi:10.1145/367766.368168.</ref> предназначен для решения [[Поиск кратчайшего пути для всех пар вершин (APSP)|задачи поиска всех кратчайших путей на графе]]. Для заданного ориентированного взвешенного графа алгоритм находит кратчайшие расстояния между всеми парами вершин за время <math>O(n^3)</math>. Алгоритм применим к графам с произвольными, в том числе с отрицательными, весами. Таким образом, он является более общим в сравнении с [[Алгоритм Дейкстры|алгоритмом Дейкстры]], который не работает с отрицательными весами ребер. Также алгоритм распознаёт наличие отрицательных циклов. | ||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Имеем граф <math>G=(V,E)</math>, в котором каждая вершина пронумерована от <math>1</math> до <math>|V|</math>. Сформируем матрицу смежности <math>D</math>. Эта матрица имеет размер <math>|V|*|V|</math> и каждому ее элементу <math>D_{ij}</math> присвоен вес ребра, соединяющего вершину <math>i</math> с вершиной <math>j</math>. Заметим, что в силу ориентированности графа <math>G</math> матрица <math>D</math> может быть несимметрична. | |||
По мере выполнения алгоритма данная матрица будет перезаписываться: в каждую из ее ячеек внесется значение, определяющее оптимальную длину пути из вершины <math>i</math> в вершину <math>j</math>. | |||
Полагаем диагональные элементы <math>D_{ii}</math> равными нулю, а недиагональные элементы, соответствующие не инцидентным вершинам (не имеющим общего ребра), положим равными бесконечности или числу, заведомо большему возможного расстояния между ребрами. | |||
Ключевая часть алгоритма состоит из трех циклов:<br> | |||
Для k от 1 до |V| выполнять <br> | |||
Для i от 1 до |V| выполнять <br> | |||
Для j от 1 до |V| выполнять <br> | |||
Если <math>{D_{ik}+D_{kj} < D_{ij}}</math>, то <math>{D_{ij} := D_{ik}+D_{kj}}</math>. <br> | |||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
Основной операцией алгоритма является релаксация элементов матрицы смежности: если <math>{D_{ik}+D_{kj} < D_{ij}}</math>, то производится присваивание <math>{D_{ij} := D_{ik}+D_{kj}}</math>. <br> | |||
=== Макроструктура алгоритма === | === Макроструктура алгоритма === | ||
=== Схема реализации последовательного алгоритма === | === Схема реализации последовательного алгоритма === | ||
| Строка 14: | Строка 28: | ||
=== Ресурс параллелизма алгоритма === | === Ресурс параллелизма алгоритма === | ||
=== Входные и выходные данные алгоритма === | === Входные и выходные данные алгоритма === | ||
Входные данные: Матрица смежности | Входные данные: Матрица смежности D. Перед работой алгоритма матрица D заполняется длинами рёбер графа (или запредельно большим числом M, если ребра нет). <br> | ||
Выходные данные: Матрица кратчайших расстояний | Выходные данные: Матрица кратчайших расстояний D. | ||
=== Свойства алгоритма === | === Свойства алгоритма === | ||
Версия от 18:53, 22 октября 2017
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм Флойда-Уоршелла[1][2][3] предназначен для решения задачи поиска всех кратчайших путей на графе. Для заданного ориентированного взвешенного графа алгоритм находит кратчайшие расстояния между всеми парами вершин за время [math]\displaystyle{ O(n^3) }[/math]. Алгоритм применим к графам с произвольными, в том числе с отрицательными, весами. Таким образом, он является более общим в сравнении с алгоритмом Дейкстры, который не работает с отрицательными весами ребер. Также алгоритм распознаёт наличие отрицательных циклов.
Математическое описание алгоритма
Имеем граф [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math], в котором каждая вершина пронумерована от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ |V| }[/math]. Сформируем матрицу смежности [math]\displaystyle{ D }[/math]. Эта матрица имеет размер [math]\displaystyle{ |V|*|V| }[/math] и каждому ее элементу [math]\displaystyle{ D_{ij} }[/math] присвоен вес ребра, соединяющего вершину [math]\displaystyle{ i }[/math] с вершиной [math]\displaystyle{ j }[/math]. Заметим, что в силу ориентированности графа [math]\displaystyle{ G }[/math] матрица [math]\displaystyle{ D }[/math] может быть несимметрична.
По мере выполнения алгоритма данная матрица будет перезаписываться: в каждую из ее ячеек внесется значение, определяющее оптимальную длину пути из вершины [math]\displaystyle{ i }[/math] в вершину [math]\displaystyle{ j }[/math].
Полагаем диагональные элементы [math]\displaystyle{ D_{ii} }[/math] равными нулю, а недиагональные элементы, соответствующие не инцидентным вершинам (не имеющим общего ребра), положим равными бесконечности или числу, заведомо большему возможного расстояния между ребрами.
Ключевая часть алгоритма состоит из трех циклов:
Для k от 1 до |V| выполнять
Для i от 1 до |V| выполнять
Для j от 1 до |V| выполнять
Если [math]\displaystyle{ {D_{ik}+D_{kj} \lt D_{ij}} }[/math], то [math]\displaystyle{ {D_{ij} := D_{ik}+D_{kj}} }[/math].
Вычислительное ядро алгоритма
Основной операцией алгоритма является релаксация элементов матрицы смежности: если [math]\displaystyle{ {D_{ik}+D_{kj} \lt D_{ij}} }[/math], то производится присваивание [math]\displaystyle{ {D_{ij} := D_{ik}+D_{kj}} }[/math].
Макроструктура алгоритма
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Время выполнения этой программы, очевидно, имеет порядок [math]\displaystyle{ O(n^3) }[/math], поскольку в ней практически нет ничего, кроме вложенных друг в друга трех циклов.
Информационный граф
Ресурс параллелизма алгоритма
Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные: Матрица смежности D. Перед работой алгоритма матрица D заполняется длинами рёбер графа (или запредельно большим числом M, если ребра нет).
Выходные данные: Матрица кратчайших расстояний D.
Свойства алгоритма
Алгоритм может распознавать наличие отрицательных циклов: такой цикл существует, если один из диагональных элементов матрицы расстояний становится меньше нуля.
Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Локальность реализации алгоритма
Структура обращений в память и качественная оценка локальности
Количественная оценка локальности
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Масштабируемость алгоритма и его реализации
Масштабируемость алгоритма
Масштабируемость реализации алгоритма
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Выводы для классов архитектур
Существующие реализации алгоритма
- C++: Boost Graph Library (функция
floyd_warshall_shortest). - Python: NetworkX (функция
floyd_warshall). - Java: JGraphT (класс
FloydWarshallShortestPaths).
Литература
- ↑ Roy, Bernard. “Transitivité Et Connexité.” Comptes Rendus De l'Académie Des Sciences 249 (1959): 216–218.
- ↑ Warshall, Stephen. “A Theorem on Boolean Matrices.” Journal of the ACM 9, no. 1 (January 1, 1962): 11–12. doi:10.1145/321105.321107.
- ↑ Floyd, Robert W. “Algorithm 97: Shortest Path.” Communications of the ACM 5, no. 6 (June 1, 1962): 345. doi:10.1145/367766.368168.