Итерация алгоритма dqds: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Новая страница: «{{algorithm | name = Итерация алгоитма dqds | serial_complexity = <math>5n-4</math> | pf_height = <math>4n-3</math> | pf_w…» |
Нет описания правки |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{algorithm | {{algorithm | ||
| name = | | name = Алгоритм dqds нахождения<br /> сингулярных чисел двухдиагональной матрицы | ||
| serial_complexity = <math>5n-4</math> | | serial_complexity = <math>5n-4</math> | ||
| pf_height = <math>4n-3</math> | | pf_height = <math>4n-3</math> | ||
| Строка 7: | Строка 8: | ||
| output_data = <math>2n</math> | | output_data = <math>2n</math> | ||
}} | }} | ||
Основные авторы описания: [[Участник:Chernyavskiy|А.Ю.Чернявский]] | Основные авторы описания: [[Участник:Chernyavskiy|А.Ю.Чернявский]] | ||
| Строка 13: | Строка 15: | ||
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
'''Итерация | '''Итерация алгоритма dqds''' является одним шагом [[Алгоритм dqds нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы|итерационного алгоритма для нахождения сингулярных чисел | ||
двухдиагональной матрицы]]. | |||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
| Строка 20: | Строка 25: | ||
:<math> | :<math> | ||
\widehat{q}_j = q_j + e_j - \widehat{e}_{j-1} - \delta \quad j \in [1,n-1]\\ | \widehat{q}_j = q_j + e_j - \widehat{e}_{j-1} - \delta, \quad j \in [1,n-1]\\ | ||
\widehat{e}_j = e_j \cdot q_{j+1} / \widehat{q}_j \quad j \in [1,n-1]\\ | \widehat{e}_j = e_j \cdot q_{j+1} / \widehat{q}_j, \quad j \in [1,n-1]\\ | ||
\widehat{q}_n = q_n - \widehat{e}_{n-1} - \delta. | \widehat{q}_n = q_n - \widehat{e}_{n-1} - \delta. | ||
</math> | </math> | ||
Здесь <math>q_j, \; j \in [1,n]</math> и <math>e_j, \; j \in [1,n-1]</math> - квадраты элемнтов главной и верхней побочной диагональ соответственно. Крышка означает выходные переменные, а <math>\delta</math> - сдвиг (параметр алгоритма). | Здесь <math>q_j, \; j \in [1,n]</math> и <math>e_j, \; j \in [1,n-1]</math> - квадраты элемнтов главной и верхней побочной диагональ соответственно. Крышка означает выходные переменные, а | ||
<math>\delta</math> - сдвиг (параметр алгоритма). | |||
Такая математическая запись наиболее компактна и соответсвует так называемой qds-итерации. | Такая математическая запись наиболее компактна и соответсвует так называемой qds-итерации. | ||
Представим также математическую запись, приближенную к dqds-итерации (с математической точки зрения qds и dqds-итерации эквивалентны) с введенными вспомогательными переменными <math>t_j</math> и <math>d_j:</math> | Представим также математическую запись, приближенную к dqds-итерации (с математической точки зрения qds и dqds-итерации эквивалентны) с введенными вспомогательными переменными | ||
<math>t_j</math> и <math>d_j:</math> | |||
:<math> | :<math> | ||
| Строка 40: | Строка 49: | ||
Отметим, что при <math>\delta=0</math> две итерации dqds эквиваленты одной QR-итерации. | Отметим, что при <math>\delta=0</math> две итерации dqds эквиваленты одной QR-итерации. | ||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | |||
Вычислительным ядром алгоритма является производимое n-1 раз вычисление, содержащие по одной операции сложения, вычитания и деления, а также две операции умножения. | |||
=== Макроструктура алгоритма === | |||
Алгоритм состоит из отдельного вычисления первого элемента главной диагонали и последующим (n-1)-кратным выполнением повторяющейся последовательности из 5 операций (+,/,*,*,-). | |||
=== Схема реализации последовательного алгоритма === | |||
Отметим, что выходные данные сразу могут быть записаны во взодные (это учтено в схеме), также для хранения вспомогательных <math>t_j</math> и <math>d_j</math> достаточно двух | |||
перезаписываемых переменных. | |||
# Вычисляется начальное значение <math>d = q_1-\delta</math> | |||
# Производится цикл по i от 1 до n-1, состоящий из: | |||
## | |||
## | |||
## | |||
## | |||
## | |||
# Вычисляется <math>q_n = d.</math> | |||
Версия от 11:07, 23 августа 2015
| Алгоритм dqds нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]\displaystyle{ 5n-4 }[/math] |
| Объём входных данных | [math]\displaystyle{ 2n }[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\displaystyle{ 2n }[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ 4n-3 }[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
Основные авторы описания: А.Ю.Чернявский
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Итерация алгоритма dqds является одним шагом итерационного алгоритма для нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы.
Математическое описание алгоритма
Формулы алгоритма следующие:
- [math]\displaystyle{ \widehat{q}_j = q_j + e_j - \widehat{e}_{j-1} - \delta, \quad j \in [1,n-1]\\ \widehat{e}_j = e_j \cdot q_{j+1} / \widehat{q}_j, \quad j \in [1,n-1]\\ \widehat{q}_n = q_n - \widehat{e}_{n-1} - \delta. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ q_j, \; j \in [1,n] }[/math] и [math]\displaystyle{ e_j, \; j \in [1,n-1] }[/math] - квадраты элемнтов главной и верхней побочной диагональ соответственно. Крышка означает выходные переменные, а
[math]\displaystyle{ \delta }[/math] - сдвиг (параметр алгоритма). Такая математическая запись наиболее компактна и соответсвует так называемой qds-итерации.
Представим также математическую запись, приближенную к dqds-итерации (с математической точки зрения qds и dqds-итерации эквивалентны) с введенными вспомогательными переменными
[math]\displaystyle{ t_j }[/math] и [math]\displaystyle{ d_j: }[/math]
- [math]\displaystyle{ d_1 = q_1 - \delta, \; q_n = d_n \\ для \; j\in [1,n-1]: \\ \widehat{q}_j = d_j + e_j\\ t_j = q_{j+1}/\widehat{q}_j\\ \widehat{e}_j=e_j \cdot t_j \\ d_{j+1} = d \cdot t - \delta \\ }[/math]
Отметим, что при [math]\displaystyle{ \delta=0 }[/math] две итерации dqds эквиваленты одной QR-итерации.
Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительным ядром алгоритма является производимое n-1 раз вычисление, содержащие по одной операции сложения, вычитания и деления, а также две операции умножения.
Макроструктура алгоритма
Алгоритм состоит из отдельного вычисления первого элемента главной диагонали и последующим (n-1)-кратным выполнением повторяющейся последовательности из 5 операций (+,/,*,*,-).
Схема реализации последовательного алгоритма
Отметим, что выходные данные сразу могут быть записаны во взодные (это учтено в схеме), также для хранения вспомогательных [math]\displaystyle{ t_j }[/math] и [math]\displaystyle{ d_j }[/math] достаточно двух
перезаписываемых переменных.
- Вычисляется начальное значение [math]\displaystyle{ d = q_1-\delta }[/math]
- Производится цикл по i от 1 до n-1, состоящий из:
- Вычисляется [math]\displaystyle{ q_n = d. }[/math]