DevbunovaViliana / Метод главных компонент (PСA): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Строка 20: Строка 20:


=== Вычислительное ядро алгоритма ===
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
Мы будем реализовывать PCA с помощью сингулярной декомпозиции значений, или сокращенно SVD. Для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов будем использовать алгоритм собственных значений Якоби
Мы будем реализовывать PCA с помощью нахождения подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально. Для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов будем использовать метод степенных итераций


==== Алгоритм вычисления собственных значений методом Якоби ====
==== Алгоритм вычисления собственных значений метод степенных итераций ====
Алгоритм собственных значений Якоби - это итерационный метод вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы.
Метод степенных итераций - это итерационный метод вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной матрицы.
Алгоритм вычисляет вектор <math>e</math>, содержащий собственные значения , и матрицу <math>E</math>, содержащую соответствующие собственные векторы, т. е. <math>e_i</math>-собственное значение, а столбец <math>E_i</math>-ортонормированный собственный вектор для <math>e_i</math>, для <math>i = 1,...,n</math>.
Алгоритм вычисляет вектор <math>e</math>, содержащий собственные значения , и матрицу <math>E</math>, содержащую соответствующие собственные векторы, т. е. <math>e_i</math>-собственное значение, а столбец <math>E_i</math>-ортонормированный собственный вектор для <math>e_i</math>, для <math>i = 1,...,n</math>.


==== Сингулярная декомпозиция (SVD) ====
==== Задача нахождения подпространства меньшей размерности ====
Сингулярная декомпозиция, или сокращенно SVD, - это метод матричного разложения для сведения матрицы к ее составным частям с целью упрощения некоторых последующих матричных вычислений.
SVD матрицы <math>M</math> - это факторизация <math>M</math> в произведение трех матриц <math>M = U \Sigma V^T</math>, где столбцы <math>U</math> и <math>V</math> ортонормированы, а матрица <math>\Sigma</math> диагональна с положительными вещественными числами. Учитывая, что <math>M</math> - действительная матрица <math>m × n</math>, которую мы хотим разложить, <math>U</math> - матрица <math>m × m</math>, <math>\Sigma</math> - диагональная матрица <math>m × n</math>, а <math>V^T</math> - транспонирование матрицы <math>n × n</math>.
Будем искать подпространство меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально. Будем использовать жадную стратегию:
Будем подбирать единичные вектора <math>E_i</math>, такие что норма проекций на этот вектор будет максимальна.
*1.<math>||M E_1||^2 → max_{E_1}</math>
*2. <math> |M E_2||^2 → max_{E_2}</math> и <math>E_1</math> ортогонален <math>E_2</math>
*3. и т.д.
Запишем задачу Лагранжа:
<math>\frac{d}{dE_1}(E_1^TM^TME_1 - \lambda(E_1^TE_1 -1) = 0</math>


SVD является наиболее известным и широко используемым методом декомпозиции матриц. Все матрицы имеют сингулярное разложение, которое делает их более стабильными. Он часто используется в широком спектре приложений, включая сжатие, шумоподавление и сокращение данных.
<math>M^TME_1 - \lambda E_1 = 0</math>
Значит, задача сводится к последовательному нахождению собственных векторов, отвечающих максимальным собственным значениям матрицы <math>M^TM</math>


Алгоритм разложения матрицы с помощью SVD:
Алгоритм:
*1. Вычислить эрмитов матрицу (найти сопряженную транспонированную), <math>M^T</math> из матрицы <math>M</math>.
*1. Вычислить эрмитов матрицу (найти сопряженную транспонированную), <math>M^T</math> из матрицы <math>M</math>.
*2. Вычислить умножение <math>M^TM</math>
*2. Вычислить умножение <math>M^TM</math>
*3. Вычислить собственные значения и собственные векторы <math>M^TM</math>, используя алгоритм Якоби.
*3. Вычислить собственные значения и собственные векторы <math>M^TM</math>, используя аметод степенных итераций.
*4. Отсортировать собственные значения и соответствующие столбцы собственных векторов в порядке убывания собственных значений.
*4. Отсортировать собственные значения и соответствующие столбцы собственных векторов в порядке убывания собственных значений. И взять первые <math>k</math> собственных векторов, отвечающих максимальным собственным значениям.
*5. Взять квадратный корень из собственных значений, чтобы получить сингулярные значения матрицы <math>M</math>.
*6. Построить диагональную матрицу <math>\Sigma</math>, расположив сингулярные значения в порядке убывания вдоль ее диагонали. Заметим, что размер <math>\Sigma</math> есть <math>m × n</math>, таким образом, помещает верхние <math>r</math> сингулярных значений на диагональ и отбрасывает остальные <math>(r = min(m, n))</math> и блок с <math>m - r</math> строками и <math>n - r</math> столбцами содержит нули. Также вычислить <math>\Sigma^{-1}</math>
*7. Отсортированные столбцы собственных векторов представляют матрицу <math>V</math>. Вычислить ее транспонирование <math>V^T</math>
*8. Вычислить матрицу <math>U</math>, как <math>U = M V \Sigma ^{-1}</math> 
 


==== Анализ основных компонентов (PCA) ====
==== Анализ основных компонентов (PCA) ====
Анализ главных компонент, или сокращенно PCA, - это математическая процедура, которая преобразует набор (возможно коррелированных) переменных в меньшее число некоррелированных переменных, которые называют главными компонентами. Цель анализа главных компонент состоит в том, чтобы уменьшить размерность (количество признаков) набора данных, но сохранить как можно больше исходной изменчивости в данных. На первый основной компонент приходится большая часть изменчивости данных, на второй основной компонент приходится большая часть оставшейся изменчивости и т. д.
Анализ главных компонент, или сокращенно PCA, - это математическая процедура, которая преобразует набор (возможно коррелированных) переменных в меньшее число некоррелированных переменных, которые называют главными компонентами. Цель анализа главных компонент состоит в том, чтобы уменьшить размерность (количество признаков) набора данных, но сохранить как можно больше исходной изменчивости в данных. На первый основной компонент приходится большая часть изменчивости данных, на второй основной компонент приходится большая часть оставшейся изменчивости и т. д.
PCA можно рассматривать как метод проекции, при котором данные с <math>n</math>-признаками проецируются на подпространство с <math>n</math> (или меньшим количеством) признаков, сохраняя при этом большую часть информации.
PCA можно рассматривать как метод проекции, при котором данные с <math>n</math>-признаками проецируются на подпространство с <math>n</math> (или меньшим количеством) признаков, сохраняя при этом большую часть информации.
 
Мы будем внешне задавать размерность признанного пространства, которое  хотим получить <math>k</math>.
Алгоритм вычисления главных компонент:
*1. Входной набор данных <math>D</math> c <math>s</math> объектами и <math>f</math> признаками, т. е. размерность <math>D</math> равна <math>s × f</math>.
*2. Получить собственные значения с помощью алгоритма Якоби и <math>U</math> путем сингулярного векторного разложения матрицы <math>D</math> (или альтернативной матрицы <math>D^T</math> ).
*3. Выбрать <math>k</math> столбцов матрицы <math>U</math>, соответствующие <math>k</math> наибольшим собственным значениям. Здесь <math>k</math> - число измерений нового подпространства объектов <math>(k ≤ f)</math>
*4. Построить проекции матрицы <math>W^T</math> главных компонент на выбранные <math>k</math> собственных векторов.
*5. Преобразовать исходный набор данных <math>D</math> через <math>W</math> и получить <math>k</math>-мерное подпространство признаков <math>\hat{D}</math>.
Обратите внимание, что значения во входном наборе данных D должны быть стандартизированы.
=== Макроструктура алгоритма ===
=== Макроструктура алгоритма ===
Макроструктура алгоритма:
*1. Вычислить <math>M^T</math> из матрицы <math>M</math>.
*2. Вычислить умножение <math>M^TM</math>
*3. В цикле до сходимости вычислять:
<math> E_{k+1} = \frac{M^TME_k}{\|M^TME_k\|} </math> -- сойдется к собственному вектору, отвечающему максимальному значению, тогда последовательность
<math>\lambda_{k} = \frac{(E_k,M^TME_k)}{(E_k,E_k)}</math> сойдется к максимальному собственному значению.
*4. Теперь вместо выражения M^TM в пункте 3 используем
<math> M^TM - \lambda_k E_k E_k^T</math>
*5. Повторяем пункт 3 и 4 столько раз, какой размерности хотим получить новое пространство.


=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
[https://wmpics.pics/di-2ZK0.png Блок схема алгоритма]


=== Последовательная сложность алгоритма ===
=== Последовательная сложность алгоритма ===

Версия от 14:20, 1 декабря 2020

Автор: Девбунова Вилиана Олеговна, студент ММП ВМК МГУ (417)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Метод Главных Компонент (англ. Principal Components Analysis, PCA) — один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ.Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как распознавание образов, компьютерное зрение, сжатие данных и т. п. Вычисление главных компонент сводится к вычислению собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы исходных данных или к сингулярному разложению матрицы данных.

Иногда метод главных компонент называют преобразованием Кархунена-Лоэва (англ. Karhunen-Loeve)или преобразованием Хотеллинга (англ. Hotelling transform). Другие способы уменьшения размерности данных — это метод независимых компонент, многомерное шкалирование, а также многочисленные нелинейные обобщения: метод главных кривых и многообразий, поиск наилучшей проекции (англ. Projection Pursuit), нейросетевые методы «узкого горла», самоорганизующиеся карты Кохонена и др.

Математическое описание алгоритма

Задача анализа главных компонент имеет много версий, вот базовые из них:

  • аппроксимировать данные линейными многообразиями меньшей размерности;
  • найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые разброс данных максимален;
  • найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально;
  • для данной многомерной случайной величины построить такое ортогональное преобразование координат, в результате которого корреляции между отдельными координатами обратятся в нуль.

Мы будем рассматривать только один вариант.

Вычислительное ядро алгоритма

Мы будем реализовывать PCA с помощью нахождения подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально. Для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов будем использовать метод степенных итераций

Алгоритм вычисления собственных значений метод степенных итераций

Метод степенных итераций - это итерационный метод вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной матрицы. Алгоритм вычисляет вектор [math]\displaystyle{ e }[/math], содержащий собственные значения , и матрицу [math]\displaystyle{ E }[/math], содержащую соответствующие собственные векторы, т. е. [math]\displaystyle{ e_i }[/math]-собственное значение, а столбец [math]\displaystyle{ E_i }[/math]-ортонормированный собственный вектор для [math]\displaystyle{ e_i }[/math], для [math]\displaystyle{ i = 1,...,n }[/math].

Задача нахождения подпространства меньшей размерности

Будем искать подпространство меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально. Будем использовать жадную стратегию: Будем подбирать единичные вектора [math]\displaystyle{ E_i }[/math], такие что норма проекций на этот вектор будет максимальна.

  • 1.[math]\displaystyle{ ||M E_1||^2 → max_{E_1} }[/math]
  • 2. [math]\displaystyle{ |M E_2||^2 → max_{E_2} }[/math] и [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] ортогонален [math]\displaystyle{ E_2 }[/math]
  • 3. и т.д.

Запишем задачу Лагранжа: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dE_1}(E_1^TM^TME_1 - \lambda(E_1^TE_1 -1) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M^TME_1 - \lambda E_1 = 0 }[/math] Значит, задача сводится к последовательному нахождению собственных векторов, отвечающих максимальным собственным значениям матрицы [math]\displaystyle{ M^TM }[/math]

Алгоритм:

  • 1. Вычислить эрмитов матрицу (найти сопряженную транспонированную), [math]\displaystyle{ M^T }[/math] из матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math].
  • 2. Вычислить умножение [math]\displaystyle{ M^TM }[/math]
  • 3. Вычислить собственные значения и собственные векторы [math]\displaystyle{ M^TM }[/math], используя аметод степенных итераций.
  • 4. Отсортировать собственные значения и соответствующие столбцы собственных векторов в порядке убывания собственных значений. И взять первые [math]\displaystyle{ k }[/math] собственных векторов, отвечающих максимальным собственным значениям.

Анализ основных компонентов (PCA)

Анализ главных компонент, или сокращенно PCA, - это математическая процедура, которая преобразует набор (возможно коррелированных) переменных в меньшее число некоррелированных переменных, которые называют главными компонентами. Цель анализа главных компонент состоит в том, чтобы уменьшить размерность (количество признаков) набора данных, но сохранить как можно больше исходной изменчивости в данных. На первый основной компонент приходится большая часть изменчивости данных, на второй основной компонент приходится большая часть оставшейся изменчивости и т. д. PCA можно рассматривать как метод проекции, при котором данные с [math]\displaystyle{ n }[/math]-признаками проецируются на подпространство с [math]\displaystyle{ n }[/math] (или меньшим количеством) признаков, сохраняя при этом большую часть информации. Мы будем внешне задавать размерность признанного пространства, которое хотим получить [math]\displaystyle{ k }[/math].

Макроструктура алгоритма

Макроструктура алгоритма:

  • 1. Вычислить [math]\displaystyle{ M^T }[/math] из матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math].
  • 2. Вычислить умножение [math]\displaystyle{ M^TM }[/math]
  • 3. В цикле до сходимости вычислять:

[math]\displaystyle{ E_{k+1} = \frac{M^TME_k}{\|M^TME_k\|} }[/math] -- сойдется к собственному вектору, отвечающему максимальному значению, тогда последовательность [math]\displaystyle{ \lambda_{k} = \frac{(E_k,M^TME_k)}{(E_k,E_k)} }[/math] сойдется к максимальному собственному значению.

  • 4. Теперь вместо выражения M^TM в пункте 3 используем

[math]\displaystyle{ M^TM - \lambda_k E_k E_k^T }[/math]

  • 5. Повторяем пункт 3 и 4 столько раз, какой размерности хотим получить новое пространство.

Схема реализации последовательного алгоритма

Блок схема алгоритма

Последовательная сложность алгоритма

Информационный граф

Ресурс параллелизма алгоритма

Входные и выходные данные алгоритма

Свойства алгоритма

Программная реализация алгоритма

Особенности реализации последовательного алгоритма

Локальность данных и вычислений

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Выводы для классов архитектур

Существующие реализации алгоритма

Литература

[1] Wikipedia contributors. Principal component analysis. In Wikipedia, The Free Encyclopedia from https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis

Источник — https://xn--80aecvaldz.xn--80ahdrnmvk.xn--p1ai/w/ru/index.php?title=DevbunovaViliana_/_Метод_главных_компонент_(PСA)&oldid=28434