Обратная подстановка (вещественный вариант)

Описание свойств и структуры алгоритма

Словесное описание алгоритма

Обратный ход метода Гаусса, или обратная подстановка - решение СЛАУ [math]\displaystyle{ Ux = y }[/math] с правой треугольной матрицей [math]\displaystyle{ U }[/math]. Матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] - одна из составляющих матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и получается либо из [math]\displaystyle{ LU }[/math]-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, разложение Холецкого и др.), либо из других разложений. В силу треугольности [math]\displaystyle{ U }[/math] решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.

В [1] методом обратной подстановки назван также и метод решения СЛАУ с левой треугольной матрицей. Там же отмечено, что в литературе иногда под обратной подстановкой имеют в виду, как и здесь, только решения СЛАУ с правой треугольной матрицей, а решение левых треугольных систем называют прямой подстановкой. Такой же системы названий будем придерживаться и мы, во избежание одноимённого названия разных алгоритмов. Кроме того, обратная подстановка, представленная здесь, одновременно является частью метода Гаусса для решения СЛАУ, а именно - его обратным ходом, чего нельзя сказать про прямую подстановку.

Математическое описание

Исходные данные: правая треугольная матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ u_{ij} }[/math]), вектор правой части [math]\displaystyle{ y }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math]).

Вычисляемые данные: вектор решения [math]\displaystyle{ x }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ x_{i} }[/math]).

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ \begin{align} x_{n} & = y_{n}/u_{nn} \\ x_{i} & = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}, \quad i \in [1, n - 1]. \end{align} }[/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро обратной подстановки можно составить из множественных (всего их [math]\displaystyle{ n }[/math]) вычислений скалярных произведений строк матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math] на уже вычисленную часть вектора [math]\displaystyle{ x }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} }[/math]

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, с их последующим вычитанием из компоненты вектора [math]\displaystyle{ y }[/math] и деления на диагональный элемент матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math]. В отечественных реализациях, даже в последовательных, упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что даже в этих реализациях метода вычисление сумм типа

[math]\displaystyle{ y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} }[/math]

в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений

[math]\displaystyle{ y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} }[/math]

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.

Макроструктура алгоритма

Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода обратной подстановки составляют множественные (всего [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]) вычисления сумм

[math]\displaystyle{ y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} }[/math]

в режиме накопления или без него, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.

Описание схемы реализации последовательного алгоритма

Чтобы понять последовательность исполнения, перепишем формулы метода так:

1. [math]\displaystyle{ x_{n} = y_{n}/u_{nn} }[/math]

Далее для всех [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] до [math]\displaystyle{ 1 }[/math] по убыванию выполняются

2. [math]\displaystyle{ x_{i} = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii} }[/math]

Особо отметим, что вычисления сумм вида [math]\displaystyle{ y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} }[/math] производят в режиме накопления вычитанием из [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math] произведений [math]\displaystyle{ u_{ij} x_{j} }[/math] для [math]\displaystyle{ j }[/math] от [math]\displaystyle{ n }[/math] до [math]\displaystyle{ i + 1 }[/math], c убыванием [math]\displaystyle{ j }[/math]. Другие порядки выполнения суммирования приводят к резкому ухудшению параллельных свойств алгоритма, хотя, к сожалению, остаются кое-где в литературе и пакетах программ.

Последовательная сложность алгоритма

Для обратной подстановки порядка n в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

• [math]\displaystyle{ n }[/math] делений,
• по [math]\displaystyle{ \frac{n^2-n}{2} }[/math] умножений и сложений (вычитаний) — основная часть алгоритма.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает долю умножений и сложений/вычитаний во времени, требуемом для выполнения обратного хода метода Гаусса.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам с квадратической сложностью.

Информационный граф

Опишем граф алгоритма как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма обратной подстановки состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей разной размерности.

описание

Первая группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию деления. Естественно введённая единственная координата каждой из вершин [math]\displaystyle{ i }[/math] меняется в диапазоне от [math]\displaystyle{ n }[/math] до [math]\displaystyle{ 1 }[/math], принимая все целочисленные значения.

Делимое в этой операции:

• при [math]\displaystyle{ i = n }[/math] — элемент входных данных, а именно [math]\displaystyle{ y_{n} }[/math];
• при [math]\displaystyle{ i \lt n }[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ i+1 }[/math].

Делитель для этой операции - элемент входных данных, а именно [math]\displaystyle{ u_{nn} }[/math].

Результат срабатывания операции является выходным данным [math]\displaystyle{ x_{i} }[/math].

Вторая группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция [math]\displaystyle{ a-bc }[/math]. Естественно введённые координаты области таковы:

• [math]\displaystyle{ i }[/math] — меняется в диапазоне от [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] до [math]\displaystyle{ 1 }[/math], принимая все целочисленные значения;
• [math]\displaystyle{ j }[/math] — меняется в диапазоне от [math]\displaystyle{ n }[/math] до [math]\displaystyle{ i+1 }[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

• [math]\displaystyle{ a }[/math]:
  • при [math]\displaystyle{ j = n }[/math] элемент входных данных [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math];
  • при [math]\displaystyle{ j \lt n }[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами [math]\displaystyle{ i, j+1 }[/math];
• [math]\displaystyle{ b }[/math] — элемент входных данных, а именно [math]\displaystyle{ u_{ij} }[/math];
• [math]\displaystyle{ c }[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой [math]\displaystyle{ j }[/math];

Результат срабатывания операции является промежуточным данным алгоритма.

Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math]. Здесь вершины первой группы обозначены розовым цветом и знаком деления, вершины второй — зелёным цветом и буквой f. Изображена подача только входных данных из вектора [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math], подача элементов матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math], идущая во все вершины, на рисунке не представлена.

Описание ресурса параллелизма алгоритма

Для обратной подстановки порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

• [math]\displaystyle{ n }[/math] ярусов делений (в каждом из ярусов одно деление),
• по [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — линейное количество операций, от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n-1 }[/math].

Таким образом, в параллельном варианте, в отличие от последовательного, вычисления делений будут определять довольно значительную долю требуемого времени. При реализации на конкретных архитектурах наличие в отдельных ярусах ЯПФ отдельных делений может породить и другие проблемы. Например, при реализации метода обратной подстановки на ПЛИСах остальные вычисления (умножения и сложения/вычитания) могут быть конвейеризованы, что даёт экономию и по ресурсам на программируемых платах; деления из-за их изолированности приведут к занятию ресурсов на платах, которые будут простаивать большую часть времени.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам с линейной сложностью. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет линейной.

Описание входных и выходных данных

Входные данные: верхняя треугольная матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ u_{ij} }[/math]), вектор правой части [math]\displaystyle{ y }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math]).

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ \frac{n (n + 3)}{2} }[/math] (в силу треугольности достаточно хранить только диагональ и наддиагональные элементы матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math]).

Выходные данные: вектор решения [math]\displaystyle{ x }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ x_{i} }[/math]).

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ n }[/math].

Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является линейным (отношение квадратической к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма обратной подстановки, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь константа.

При этом алгоритм обратной подстановки полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается, поскольку в корне меняет структуру алгоритма и делает параллельную сложность квадратической.

Программная реализация

Особенности реализации последовательного алгоритма

В простейшем варианте метод обратной подстановки на Фортране можно записать так:

        X(N) = Y(N) / U (N, N)
	DO  I = N-1, 1, -1
		S = Y(I)
		DO  J = N, I+1, -1
			S = S - DPROD(U(I,J), X(J))
		END DO
		X(I) = S / U(I,I)
		END DO
	END DO

При этом для реализации режима накопления переменная [math]\displaystyle{ S }[/math] должна быть двойной точности.

Литература

1. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984, стр. 182.