Прямая подстановка (вещественный вариант): различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Следующая правка →
Новая страница: «== Описание свойств и структуры алгоритма == === Словесное описание алгоритма === '''Прямая п…»
 
Нет описания правки
Строка 27: Строка 27:
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
=== Вычислительное ядро алгоритма ===


Вычислительное ядро обратной подстановки можно составить из множественных (всего их <math>n-1</math>) вычислений скалярных произведений строк матрицы <math>L</math> на уже вычисленную часть вектора <math>y</math>:
Вычислительное ядро прямой подстановки можно составить из множественных (всего их <math>n-1</math>) вычислений скалярных произведений строк матрицы <math>L</math> на уже вычисленную часть вектора <math>y</math>:


:<math> \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>  
:<math> \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>  
Строка 35: Строка 35:
:<math> b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>
:<math> b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>


в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений
в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода прямой подстановки не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений


:<math> b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>
:<math> b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>
Строка 43: Строка 43:
=== Макроструктура алгоритма ===
=== Макроструктура алгоритма ===


Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть метода обратной подстановки составляют множественные (всего <math>n-1</math>) вычисления сумм
Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть метода прямой подстановки составляют множественные (всего <math>n-1</math>) вычисления сумм


:<math>y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} </math>
:<math> b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} </math>


в режиме накопления или без него, плюс деления результатов этих вычислений на диагональные элементы матрицы.
в режиме накопления или без него.


=== Описание схемы реализации последовательного алгоритма ===
=== Описание схемы реализации последовательного алгоритма ===
Строка 53: Строка 53:
Чтобы понять последовательность исполнения, перепишем формулы метода так:
Чтобы понять последовательность исполнения, перепишем формулы метода так:


1. <math>x_{n} = y_{n}/u_{nn}</math>
1. <math>y_{1} = b_{1}</math>


Далее для всех <math>i</math> от <math>n-1</math> до <math>1</math> по убыванию выполняются
Далее для всех <math>i</math> от <math>2</math> до <math>n</math> по возрастанию выполняются


2. <math>x_{i} = \left (y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j} \right ) / u_{ii}</math>
2. <math>y_{i} = b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j}</math>


Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>y_{i} - \sum_{j = i+1}^{n} u_{ij} x_{j}</math> производят в режиме накопления вычитанием из <math>y_{i}</math> произведений <math>u_{ij} x_{j}</math> для <math>j</math> от <math>n</math> до <math>i + 1</math>, '''c убыванием''' <math>j</math>. '''''Другие порядки выполнения суммирования приводят к резкому ухудшению параллельных свойств алгоритма''''', хотя, к сожалению, остаются кое-где в литературе и пакетах программ.
Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j}</math> производят в режиме накопления вычитанием из <math>b_{i}</math> произведений <math>l_{ij} y_{j}</math> для <math>j</math> от <math>1</math> до <math>i-1</math>, '''c возрастанием''' <math>j</math>. '''''Другие порядки выполнения суммирования приводят к резкому ухудшению параллельных свойств алгоритма'''''.


=== Последовательная сложность алгоритма ===
=== Последовательная сложность алгоритма ===


Для обратной подстановки порядка n  в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
Для прямой подстановки порядка n  в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
* <math>n</math> делений,
* по <math>\frac{n^2-n}{2}</math> умножений и сложений (вычитаний).
* по <math>\frac{n^2-n}{2}</math> умножений и сложений (вычитаний) — ''основная часть алгоритма''.
   
   
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает долю умножений и сложений/вычитаний во времени, требуемом для выполнения обратного хода метода Гаусса.
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает затраты во времени, требуемом для выполнения прямой подстановки.


При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''с квадратической сложностью''.
При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''с квадратической сложностью''.
Строка 76: Строка 75:
Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.  
Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.  


Граф алгоритма обратной подстановки состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей разной размерности.
Граф алгоритма прямой подстановки состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей разной размерности.


[[Файл:DirectU.png|450px|thumb|left|описание]]


'''Первая''' группа вершин расположена в одномерной области, соответствующая ей операция вычисляет функцию деления.
=== Описание ресурса параллелизма алгоритма ===
Естественно введённая единственная координата каждой из вершин <math>i</math> меняется в диапазоне от <math>n</math> до <math>1</math>, принимая все целочисленные значения.
 
Делимое в этой операции:
* при <math>i = n</math> — элемент ''входных данных'', а именно  <math>y_{n}</math>;
* при <math>i < n</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами <math>i</math>, <math>i+1</math>.
 
Делитель для этой операции - элемент ''входных данных'', а именно  <math>u_{nn}</math>.
 
Результат срабатывания операции является ''выходным данным'' <math>x_{i}</math>.
 
'''Вторая''' группа вершин расположена в двумерной области, соответствующая ей операция  <math>a-bc</math>.
Естественно введённые координаты области таковы:
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>n-1</math> до <math>1</math>, принимая все целочисленные значения;
* <math>j</math> — меняется в диапазоне от <math>n</math> до <math>i+1</math>, принимая все целочисленные значения.
 
Аргументы операции следующие:
*<math>a</math>:
** при <math>j = n</math> элемент входных данных <math>y_{i}</math>;
** при <math>j < n</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из второй группы, с координатами <math>i, j+1</math>;
*<math>b</math> — элемент ''входных данных'', а именно  <math>u_{ij}</math>;
*<math>c</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине из первой группы, с координатой <math>j</math>;
 
Результат срабатывания операции является ''промежуточным данным'' алгоритма.
 
Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая <math>n = 5</math>. Здесь вершины первой группы обозначены розовым цветом и знаком деления, вершины второй — зелёным цветом и буквой f. Изображена подача только входных данных из вектора <math>y_{i}</math>, подача элементов матрицы <math>U</math>, идущая во все вершины, на рисунке не представлена.


=== Описание ресурса параллелизма алгоритма ===
Для прямой подстановки порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:


Для обратной подстановки порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
* <math>n</math> ярусов делений (в каждом из ярусов одно деление),
* по <math>n - 1</math> ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — линейное количество операций, от <math>1</math> до <math>n-1</math>.
* по <math>n - 1</math> ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — линейное количество операций, от <math>1</math> до <math>n-1</math>.
   
   
Таким образом, в параллельном варианте, в отличие от последовательного, вычисления делений будут определять довольно значительную долю требуемого времени. При реализации на конкретных архитектурах наличие в отдельных ярусах [[глоссарий#Ярусно-параллельная форма графа алгоритма|ЯПФ]] отдельных делений может породить и другие проблемы. Например, при реализации метода обратной подстановки на ПЛИСах остальные вычисления (умножения и сложения/вычитания) могут быть конвейеризованы, что даёт экономию и по ресурсам на программируемых платах; деления из-за их изолированности приведут к занятию ресурсов на платах, которые будут простаивать большую часть времени.
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.


При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''линейной''.
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод прямой подстановки относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''линейной''.


=== Описание входных и выходных данных ===
=== Описание входных и выходных данных ===


'''Входные данные''': верхняя треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).
'''Входные данные''': левая треугольная матрица <math>L</math> (элементы <math>l_{ij}</math>), вектор правой части <math>b</math> (элементы <math>b_{i}</math>).


'''Объём входных данных''': <math>\frac{n (n + 3)}{2}</math> (в силу треугольности достаточно хранить только диагональ и наддиагональные элементы матрицы <math>U</math>).  
'''Объём входных данных''': <math>\frac{n (n + 1)}{2}</math> (в силу треугольности и единичности диагональных элементов достаточно хранить только поддиагональные элементы матрицы <math>L</math>).  


'''Выходные данные''': вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).
'''Выходные данные''': вектор решения <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).


'''Объём выходных данных''': <math>n</math>.
'''Объём выходных данных''': <math>n</math>.
Строка 134: Строка 102:
Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''линейным'' (отношение квадратической к линейной).  
Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''линейным'' (отношение квадратической к линейной).  


При этом вычислительная мощность алгоритма обратной подстановки, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь ''константа''.
При этом вычислительная мощность алгоритма прямой подстановки, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь ''константа''.


При этом алгоритм обратной подстановки полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается, поскольку в корне меняет структуру алгоритма и делает параллельную сложность квадратической.
При этом алгоритм прямой подстановки полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается, поскольку в корне меняет структуру алгоритма и делает параллельную сложность квадратической.


== Программная реализация ==
== Программная реализация ==
Строка 142: Строка 110:
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===
=== Особенности реализации последовательного алгоритма ===


В простейшем варианте метод обратной подстановки на Фортране можно записать так:
В простейшем варианте метод прямой подстановки на Фортране можно записать так:


<source lang="fortran">
<source lang="fortran">
         X(N) = Y(N) / U (N, N)
         Y(1) = B(1)  
DO  I = N-1, 1, -1
DO  I = 2, N-1
S = Y(I)
S = B(I)
DO  J = N, I+1, -1
DO  J = 1, I-1
S = S - DPROD(U(I,J), X(J))
S = S - DPROD(L(I,J), Y(J))
END DO
END DO
X(I) = S / U(I,I)
END DO
END DO
END DO
</source>
</source>

Версия от 13:04, 17 сентября 2014

Описание свойств и структуры алгоритма

Словесное описание алгоритма

Прямая подстановка - решение СЛАУ [math]\displaystyle{ Lx = y }[/math] с левой треугольной матрицей [math]\displaystyle{ L }[/math]. Матрица [math]\displaystyle{ L }[/math] - одна из составляющих матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и получается либо из [math]\displaystyle{ LU }[/math]-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса), либо из других разложений. В силу треугольности [math]\displaystyle{ L }[/math] решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.

В [1] метод решения СЛАУ с левой треугольной матрицей назван методом обратной подстановки. Там же отмечено, что в литературе иногда под обратной подстановкой имеют в виду, как и здесь, только решения СЛАУ с правой треугольной матрицей, а решение левых треугольных систем называют прямой подстановкой. Такой же системы названий будем придерживаться и мы, во избежание одноимённого названия разных алгоритмов. Кроме того, обратная подстановка, представленная в этой энциклопедии алгоритмов, одновременно является частью метода Гаусса для решения СЛАУ, а именно - его обратным ходом, чего нельзя сказать про представленную здесь прямую подстановку.

Общая структура прямой подстановки с неособенной левой треугольной матрицей, тем не менее, практически полностью совпадает со структурой обратной подстановки. Поэтому здесь мы рассмотрим случай, когда матрица [math]\displaystyle{ L }[/math], как полученная из разложения типа Гаусса, имеет единичные диагональные элементы.

Математическое описание

Исходные данные: левая треугольная матрица [math]\displaystyle{ L }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ l_{ij} }[/math]), вектор правой части [math]\displaystyle{ b }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ b_{i} }[/math]).

Вычисляемые данные: вектор решения [math]\displaystyle{ y }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math]).

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ \begin{align} y_{1} & = b_{1} \\ y_{i} & = b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j}, \quad i \in [2, n]. \end{align} }[/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро прямой подстановки можно составить из множественных (всего их [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]) вычислений скалярных произведений строк матрицы [math]\displaystyle{ L }[/math] на уже вычисленную часть вектора [math]\displaystyle{ y }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} }[/math]

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи, с их последующим вычитанием из компоненты вектора [math]\displaystyle{ b }[/math] и деления на диагональный элемент матрицы [math]\displaystyle{ L }[/math]. В отечественных реализациях, даже в последовательных, упомянутый способ представления не используется. Дело в том, что даже в этих реализациях метода вычисление сумм типа

[math]\displaystyle{ b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} }[/math]

в которых и встречаются скалярные произведения, ведутся не в порядке «вычислили скалярное произведение, а потом вычли его из элемента», а путём вычитания из элемента покомпонентных произведений, являющихся частями скалярных произведений. Поэтому следует считать вычислительным ядром метода прямой подстановки не вычисления скалярных произведений, а вычисления выражений

[math]\displaystyle{ b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} }[/math]

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи.

Макроструктура алгоритма

Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода прямой подстановки составляют множественные (всего [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]) вычисления сумм

[math]\displaystyle{ b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} }[/math]

в режиме накопления или без него.

Описание схемы реализации последовательного алгоритма

Чтобы понять последовательность исполнения, перепишем формулы метода так:

1. [math]\displaystyle{ y_{1} = b_{1} }[/math]

Далее для всех [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ 2 }[/math] до [math]\displaystyle{ n }[/math] по возрастанию выполняются

2. [math]\displaystyle{ y_{i} = b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} }[/math]

Особо отметим, что вычисления сумм вида [math]\displaystyle{ b_{i} - \sum_{j = 1}^{i-1} l_{ij} y_{j} }[/math] производят в режиме накопления вычитанием из [math]\displaystyle{ b_{i} }[/math] произведений [math]\displaystyle{ l_{ij} y_{j} }[/math] для [math]\displaystyle{ j }[/math] от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ i-1 }[/math], c возрастанием [math]\displaystyle{ j }[/math]. Другие порядки выполнения суммирования приводят к резкому ухудшению параллельных свойств алгоритма.

Последовательная сложность алгоритма

Для прямой подстановки порядка n в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

  • по [math]\displaystyle{ \frac{n^2-n}{2} }[/math] умножений и сложений (вычитаний).

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает затраты во времени, требуемом для выполнения прямой подстановки.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, метод обратной подстановки относится к алгоритмам с квадратической сложностью.

Информационный граф

Опишем граф алгоритма как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма прямой подстановки состоит из двух групп вершин, расположенных в целочисленных узлах двух областей разной размерности.


Описание ресурса параллелизма алгоритма

Для прямой подстановки порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

  • по [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] ярусов умножений и сложений/вычитаний (в каждом из ярусов — линейное количество операций, от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ n-1 }[/math].

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и вычитаний в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, метод прямой подстановки относится к алгоритмам с линейной сложностью. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет линейной.

Описание входных и выходных данных

Входные данные: левая треугольная матрица [math]\displaystyle{ L }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ l_{ij} }[/math]), вектор правой части [math]\displaystyle{ b }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ b_{i} }[/math]).

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ \frac{n (n + 1)}{2} }[/math] (в силу треугольности и единичности диагональных элементов достаточно хранить только поддиагональные элементы матрицы [math]\displaystyle{ L }[/math]).

Выходные данные: вектор решения [math]\displaystyle{ y }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ y_{i} }[/math]).

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ n }[/math].

Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является линейным (отношение квадратической к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма прямой подстановки, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь константа.

При этом алгоритм прямой подстановки полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается, поскольку в корне меняет структуру алгоритма и делает параллельную сложность квадратической.

Программная реализация

Особенности реализации последовательного алгоритма

В простейшем варианте метод прямой подстановки на Фортране можно записать так: 

        Y(1) = B(1) 
	DO  I = 2, N-1
		S = B(I)
		DO  J = 1, I-1
			S = S - DPROD(L(I,J), Y(J))
		END DO		
	END DO

При этом для реализации режима накопления переменная [math]\displaystyle{ S }[/math] должна быть двойной точности.

Литература

  1. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984, стр. 182.
Источник — https://xn--80aecvaldz.xn--80ahdrnmvk.xn--p1ai/w/ru/index.php?title=Прямая_подстановка_(вещественный_вариант)&oldid=379