Участник:Антон Тодуа/Partitioning Around Medoids (PAM)

Основные авторы описания: Тодуа А.Р., Гусева Ю.В.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Самый распространённый вариант реализации [math]\displaystyle{ k }[/math]-medoids называется PAM (Partitioning Around Medoids). Он представляет собой «жадный» алгоритм с очень неэффективной эвристикой. Данный метод был предложен Кауфманом в 1987 году.

Алгоритм начинается с выбора набора данных, состоящих из медоидов и остальных объектов. После выбора [math]\displaystyle{ k }[/math] произвольных объектов в качестве медоидов, необходимо для каждой пары [math]\displaystyle{ {x_i} }[/math] и [math]\displaystyle{ {m_k} }[/math] вычислить значение [math]\displaystyle{ S({x_{i}}{m_{k}}) }[/math]. По ходу выполнения алгоритма происходит итеративная замена одного из медоидов [math]\displaystyle{ x_i }[/math] одним из остальных объектов [math]\displaystyle{ m_k }[/math], если посчитанное ранее значение [math]\displaystyle{ S }[/math] меньше нуля. Процесс будет повторятся, пока медоиды не стабилизируются.

Математическое описание алгоритма

В качестве исходных данных алгоритм принимает:

• Симметрическую матрицу [math]\displaystyle{ D }[/math] порядка [math]\displaystyle{ N }[/math] с нолями на главной диагонали для [math]\displaystyle{ N }[/math] объектов кластеризации: [math]\displaystyle{ i }[/math]-я строка матрицы [math]\displaystyle{ D }[/math] определяет непохожесть [math]\displaystyle{ i }[/math]-го объекта кластеризации на все остальные объекты
• Число кластеров [math]\displaystyle{ K }[/math], при этом: [math]\displaystyle{ K \lt N }[/math]

Для заданных входных данных, алгоритм выбирает [math]\displaystyle{ K }[/math] объектов - медоидов (medoids) из [math]\displaystyle{ N }[/math] объектов кластеризации. При этом выбор медоидов осуществляется исходя из минимизации средней непохожести (average dissimilarity) объектов и ближайшего к ним медоида. От минимизации средней непохожести можно перейти к минимизации суммы непохожестей объектов на ближайший к ним медоид, т.к. это не повлияет на выбор медоидов, но позволит не накапливать ошибки округления, возникающие в результате операции деления.

Для дальнейшего описания алгоритма введём следующие обозначения:

• [math]\displaystyle{ U }[/math] – множество объектов кластеризации, не выбранных в качестве медоидов
• [math]\displaystyle{ S }[/math] – множество объектов кластеризации, выбранных в качестве медоидов
• [math]\displaystyle{ D_{i} }[/math] – непохожесть [math]\displaystyle{ i }[/math]-го объекта на ближайший к нему медоид
• [math]\displaystyle{ E_{i} }[/math] – непохожесть [math]\displaystyle{ i }[/math]-го объекта на второй ближайший к нему медоид

Перед выполненением алгоритма множество [math]\displaystyle{ U }[/math] содержит все объекты кластеризации, а множество [math]\displaystyle{ S }[/math] – пусто. Числа [math]\displaystyle{ D_{i} }[/math] и [math]\displaystyle{ E_{i} }[/math] могут измениться при изменениях в множествах [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ S }[/math].

Выполнение алгоритма включает в себя подготовительную стадию BUILD и итерационную стадию SWAP.

Стадия BUILD (стоит начальное множество медоидов):

1. Добавить в множество [math]\displaystyle{ S }[/math] объект, для которого сумма непохожести на все остальные объекты минимальна (самый центральный объект): [math]\displaystyle{ S = \{ arg\min_{i \in U} \sum_{j \in U} d_{ij} \} }[/math]

2. Для каждого объекта [math]\displaystyle{ i \in U }[/math] выполнить шаги 3-5

3. Для каждого объекта [math]\displaystyle{ j \in U - \{i\} }[/math] вычислить [math]\displaystyle{ D_{j} }[/math] и выполнить шаг 4

4. Положить [math]\displaystyle{ C_{ij} = max\{ D_{j} - d_{ij}, 0 \} }[/math], мера улучшения кластеризации

5. Положить [math]\displaystyle{ g_{i} = \sum_{j \in U - \{i\}} C_{ij} }[/math], улучшение от выбора [math]\displaystyle{ i }[/math]-го объекта в качестве медоида

6. Выбрать объект, максимизирующий величину [math]\displaystyle{ g_{i} }[/math] в качестве медоида:

[math]\displaystyle{ \begin{align} k & = arg\min_{i \in U} \sum_{j \in U} d_{ij} \\ U & = U - \{k\} \\ S & = S + \{k\} \\ \end{align} }[/math]

7. Если множество [math]\displaystyle{ S }[/math] содержит менее [math]\displaystyle{ K }[/math] объектов (медоидов) перейти к шагу 2

8. КОНЕЦ стадии BUILD

Стадия SWAP (итерационное улучшение кластеризации):

1. Для всех возможных пар объектов [math]\displaystyle{ i \in S }[/math] и [math]\displaystyle{ h \in U }[/math] выполнить шаги 2-4

2. Вычислить эффект [math]\displaystyle{ T_{ih} }[/math] от выполнения обмена объектов [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math] (т.е. объект [math]\displaystyle{ i }[/math] больше не выбран в качестве медоида, а объект [math]\displaystyle{ h }[/math], наоборот, выбран в качестве медоида). Способ вычисления [math]\displaystyle{ T_{ih} }[/math] описан ниже.

3. Положим [math]\displaystyle{ (i', h') = arg\min_{i \in S, h \in U} T_{ih} }[/math]

4. Если [math]\displaystyle{ T_{i'h'} }[/math] больше 0 (т.е. кластеризацию можно улучшить), то выполняем обмен объектов [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math] ([math]\displaystyle{ U = U - \{k\}, S = S + \{k\} }[/math]) и переходим к шагу 1

5. КОНЕЦ стадии SWAP

Схема реализации последовательного алгоритма

В соответствии с приведённым выше математическим описанием последовательное выполнение алгоритма представляет собой выполнение стадии BUILD, а затем последовательное повторение итераций стадии SWAP до тех пор пока существует пара объектов (один из которых медоид, а другой – нет), которые можно обменять, чтобы улучшить кластер.

Последовательная сложность алгоритма

При описании последовательной сложности будем считать, что выполняется распределение [math]\displaystyle{ N }[/math] объектов по [math]\displaystyle{ K }[/math] кластерам. В соответствии с приведённым математическим описанием алгоритм включает в себя подготовительную стадию BUILD и итерационную стадию SWAP.

Стадия BUILD сводится к вычислению:

Одной операции [math]\displaystyle{ arg\min_{i} \sum_{j} d_{ij} }[/math]
[math]\displaystyle{ K-1 }[/math] операций [math]\displaystyle{ arg\max_{i \in U} \sum_{j \in U - \{i\}} T_{ij} }[/math]

Т.е. стадия BUILD требует:

[math]\displaystyle{ K * N^2 }[/math] операций сложения
[math]\displaystyle{ K * N }[/math] операций сравнения (определения максимума/минимума)
Около [math]\displaystyle{ K * N^2 }[/math] вычислений [math]\displaystyle{ T_{ij} }[/math]

Одна итерация стадии SWAP сводится к вычислению:

[math]\displaystyle{ arg\min_{i \in S, h \in U} \sum_{j \in U - \{h\}} C_{ijh} }[/math]

Т.е. одна итерации стадии SWAP требует порядка:

[math]\displaystyle{ K * N^2 }[/math] операций сложения
[math]\displaystyle{ K * N }[/math] операций сравнения (определения максимума/минимума)
[math]\displaystyle{ K * (N - K) * (N - K - 1) }[/math] вычислений [math]\displaystyle{ C_{ijh} }[/math]

Вычисления [math]\displaystyle{ T_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ C_{ijh} }[/math] имеют константную сложность для любых [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ j }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math], поэтому сложность одной итерации алгоритма определяется как [math]\displaystyle{ O(K * N^2) }[/math]. Таким образом можно отнести алгоритм PAM к алгоритмам с кубической сложностью.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

1. Матрица непохожести объектов кластеризации (dissimilarity matrix) [math]\displaystyle{ D }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ d_{ij} }[/math]).
Дополнительные ограничения:
- [math]\displaystyle{ D }[/math] – симметрическая матрица порядка [math]\displaystyle{ N }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ d_{ij}= d_{ji}, i, j = 1, \ldots, N }[/math]
- [math]\displaystyle{ D }[/math] – содержит нули на главной диагонали, т.е. [math]\displaystyle{ d_{ii}= 0, i = 1, \ldots, N }[/math]
2. [math]\displaystyle{ K }[/math] - число кластеров, на которое следует разбить объекты кластеризации

Объём входных данных:

[math]\displaystyle{ \frac{N (N - 1)}{2} }[/math] (в силу симметричности и нулевой главной диагонали достаточно хранить только  над/поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом. 

Выходные данные:

[math]\displaystyle{ N }[/math] чисел [math]\displaystyle{ k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{N} }[/math], где [math]\displaystyle{ k_{i} }[/math] - целое число, соответствующее кластеру [math]\displaystyle{ i }[/math]-го объекта.

Выходными данными алгоритма также можно считать [math]\displaystyle{ K }[/math] чисел, задающих номера объектов кластеризации, выделенных в качестве медоидов (medoids). Однако в большинстве случаев требуется именно определение кластеров объектов, а не поиск соответствующих медоидов.

Объём выходных данных:

[math]\displaystyle{ N }[/math] (кластеры объектов кластеризации)

Программная реализация алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

PAM работает эффективно для небольших наборов данных, но не очень хорошо масштабируется для больших наборов данных