Участник:Филимонова Юлия/Решение начальной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка: различия между версиями
Jul305a (обсуждение | вклад) |
Jul305a (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ) | Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее <math>\mathbf{x}, \mathbf{f}, \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^n</math>, а <math>t, h \in \mathbb{R}</math>) | ||
<math>\dot{x} = f(t, x),\ x(t_0) = x_0,\ t \geqslant t_0.</math> | |||
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле | |||
в четыре стадии: | |||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
Версия от 08:47, 13 октября 2016
| Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | ? |
| Объём входных данных | ? |
| Объём выходных данных | ? |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | ? |
| Ширина ярусно-параллельной формы | ? |
Основные авторы описания: Филимонова Юлия
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Методы Рунге-Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге-Кутта) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге-Кутты, опуская порядок.
Математическое описание алгоритма
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее [math]\displaystyle{ \mathbf{x}, \mathbf{f}, \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^n }[/math], а [math]\displaystyle{ t, h \in \mathbb{R} }[/math])
[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(t, x),\ x(t_0) = x_0,\ t \geqslant t_0. }[/math]
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле
в четыре стадии: