Участник:Филимонова Юлия/Решение начальной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка

Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	?
Объём входных данных	n + 3
Объём выходных данных	n m + m
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	?
Ширина ярусно-параллельной формы	?

Основные авторы описания: Филимонова Юлия

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Методы Рунге-Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге-Кутта) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге-Кутты, опуская порядок.

Математическое описание алгоритма

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее [math]\displaystyle{ \mathbf{x}, \mathbf{f}, \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^n }[/math], а [math]\displaystyle{ t, h \in \mathbb{R} }[/math])

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(t, x),\ x(t_0) = x_0,\ t \geqslant t_0. }[/math]

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле

в четыре стадии: