Участник:Филимонова Юлия/Решение начальной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка: различия между версиями
Jul305a (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Jul305a (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений | Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений размерности <math>n</math> | ||
<math>\dot{x} = f(t, x),\ x(t_0) = x_0,\ t \ | <math>\dot{x} = f(t, x),\ t_0 \leqslant t \leqslant t_1,\ x(t_0) = x_0.</math> | ||
Здесь <math>x(t), x_0 \in \mathbb{R}^n,\ t, t_0, t_1 \in \mathbb{R}, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n</math>. | |||
Введем равномерную сетку | |||
<math>t_i = t_0 + ih,\ i = \overline{1, n},\ h = \frac{t_1 - t_0}{m},</math> | |||
<math>x(t_i) = x_i.</math> | |||
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле | Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле | ||
<math>x_{i+1} = x_i + \frac{h}{6} (K_1 + 2 K_2 + 2 K_3 + K_4).</math> | |||
Вычисление нового значения происходит в четыре стадии | |||
<math>K_1 = f (t_i, x_i),</math> | |||
<math>K_2 = f (t_i + \frac{h}{2}, x_i + \frac{h}{2} K_1),</math> | |||
<math>K_3 = f (t_i + \frac{h}{2}, x_i + \frac{h}{2} K_2),</math> | |||
<math>K_4 = f (t_i + h, x_i + h K_3),</math> | |||
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
Версия от 10:25, 13 октября 2016
| Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | ? |
| Объём входных данных | n + 3 |
| Объём выходных данных | n m + m |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | ? |
| Ширина ярусно-параллельной формы | ? |
Основные авторы описания: Филимонова Юлия
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Методы Рунге-Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге-Кутта) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге-Кутты, опуская порядок.
Математическое описание алгоритма
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]
[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(t, x),\ t_0 \leqslant t \leqslant t_1,\ x(t_0) = x_0. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ x(t), x_0 \in \mathbb{R}^n,\ t, t_0, t_1 \in \mathbb{R}, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n }[/math].
Введем равномерную сетку
[math]\displaystyle{ t_i = t_0 + ih,\ i = \overline{1, n},\ h = \frac{t_1 - t_0}{m}, }[/math]
[math]\displaystyle{ x(t_i) = x_i. }[/math]
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле
[math]\displaystyle{ x_{i+1} = x_i + \frac{h}{6} (K_1 + 2 K_2 + 2 K_3 + K_4). }[/math]
Вычисление нового значения происходит в четыре стадии
[math]\displaystyle{ K_1 = f (t_i, x_i), }[/math]
[math]\displaystyle{ K_2 = f (t_i + \frac{h}{2}, x_i + \frac{h}{2} K_1), }[/math]
[math]\displaystyle{ K_3 = f (t_i + \frac{h}{2}, x_i + \frac{h}{2} K_2), }[/math]
[math]\displaystyle{ K_4 = f (t_i + h, x_i + h K_3), }[/math]