|
|
| Строка 18: |
Строка 18: |
|
| |
|
| == Математическое описание алгоритма == | | == Математическое описание алгоритма == |
|
| |
|
| |
| Исходные данные: <math>n</math> векторов <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\ldots,\mathbf{a_n}</math> длины <math>n</math> <math>\left(\alpha_{ij}\right.</math>, <math>j=1,2, \ldots,n</math>, — координаты вектора <math>\left.\mathbf{a_i}\right)</math> .
| |
|
| |
| Вычисляемые данные:
| |
|
| |
| <math>n</math> ортогональных векторов <math>\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},...,\mathbf{b_n}</math> длины <math>n</math>, причем <math>\mathbf{b_1}=\mathbf{a_1}</math> либо
| |
|
| |
| <math>n</math> ортонормированных векторов <math>\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\ldots,\mathbf{e_n}</math> длины <math>n</math>, причем <math>\mathbf{e_1}=\frac{\mathbf{a_1}}{|\mathbf{a_1}|}</math>
| |
|
| |
| Формулы процесса ортогонализации:
| |
| :<math>
| |
| \begin{align}
| |
| \mathbf{b_{1}} & =\mathbf{a_{1}}, \\
| |
| \mathbf{b_{2}}& =\mathbf{a_{2}}-proj_{\mathbf{b_1}}\mathbf{a_{1}}, \\
| |
| & ...\\
| |
| \mathbf{b_{{i} }} & = \mathbf{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}},\\
| |
| & ...\\
| |
| \mathbf{b_{n}} & =\mathbf{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{n}},\\
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
|
| |
| Здесь <math>proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}}</math>, для <math>j=1,...,i-1</math> — проекция вектора <math>\mathbf{a_{i}}</math> на направление вектора <math>\mathbf{b_{j}}</math>.
| |
| Это число, равное по величине проекции вектора <math>\mathbf{a_{j}}</math> на ось, проходящую через вектор <math>\mathbf{b_j}</math>.
| |
|
| |
| Формула для ее вычисления, полученная из определения скалярного произведения:
| |
| <math>proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}}=\dfrac{(ai,bj)}{\mathbf{\left \|b_j\right \|}}</math>, для <math>j=1,...,i-1</math>
| |
|
| |
| В этом случае знаменатель в формуле для вычисления проекции <math>|\mathbf{e_i}|=1</math> для <math>i=1,...,n-1</math>, что существенно упрощает вычисления алгоритма.
| |
|
| |
| Произведение длин <math>\mathbf{|b_1|},\mathbf{|b_2|},\ldots ,\mathbf{|b_n|}</math> равно объему параллелепипеда, построенного на векторах системы <math>\left\{\mathbf{a_i}\right\}</math>, <math>i=1,2,\ldots ,n</math>, как на ребрах
| |
|
| |
| Явное выражение векторов <math>\mathbf{b_i}</math> для <math>i=1,...,n</math> через <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}</math> дает формула
| |
|
| |
| <math> \mathbf{b_i}=
| |
| \begin{vmatrix}
| |
| (a_1,a_1) & \cdots & (a_1,a_n-1) &a_1 \\
| |
| \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
| |
| (a_{i},a_1) & \cdots & (a_i,a_n-1) &a_i \\
| |
| \cdots & \cdots & \cdots \\
| |
| (a_{n},a_1) & \cdots & (a_n,a_n-1) &a_n
| |
| \end{vmatrix}
| |
| </math>
| |
| (В правой части этого равенства определитель следует формально разложить по последнему столбцу).
| |
|
| |
| Иногда полученные векторы нормируются сразу после их нахождения и находится система ортонормированных векторов <math>\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\ldots,\mathbf{e_n}</math>. В этом случае знаменатель в формуле для вычисления проекции <math>|\mathbf{e_i}|=1</math> для <math>i=1,...,n-1</math>, что существенно упрощает вычисления алгоритма.
| |
|
| |
|
| == Вычислительное ядро алгоритма == | | == Вычислительное ядро алгоритма == |
| Ортогонализация Грама-Шмидта
|
| Последовательный алгоритм
|
| Последовательная сложность
|
[math]\displaystyle{ O\left(n^3\right) }[/math]
|
| Объём входных данных
|
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
| Объём выходных данных
|
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
| Параллельный алгоритм
|
| Высота ярусно-параллельной формы
|
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
| Ширина ярусно-параллельной формы
|
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева,.
ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Математическое описание алгоритма
Вычислительное ядро алгоритма
Анализ математических формул процесса ортогонализации Грама-Шмидта показывает, что алгоритм имеет три вычислительных ядра:
- вычисления скалярного произведения (к этой операции сводится вычисление длины вектора)
- умножения вектора на число
- сложения векторов.
Эти операции выполняются за время порядка [math]\displaystyle{ O\left(n\right) }[/math]
Макроструктура алгоритма
Схема реализации последовательного алгоритма
- [math]\displaystyle{
\begin{align}
a_{1} & =b_{1}, \\
\beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\
\end{align}
}[/math]
Вычислительное ядро алгоритма
Анализ математических формул процесса ортогонализации Грама-Шмидта показывает, что алгоритм имеет три вычислительных ядра:
- вычисления скалярного произведения (к этой операции сводится вычисление длины вектора)
- умножения вектора на число
- сложения векторов.
Эти операции выполняются за время порядка [math]\displaystyle{ O\left(n\right) }[/math]
Макроструктура алгоритма
Схема реализации последовательного алгоритма
- [math]\displaystyle{
\begin{align}
a_{1} & =b_{1}, \\
\beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\
\end{align}
}[/math]
Вычислительное ядро алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Информационный граф
Ресурс параллелизма алгоритма
Входные и выходные данные алгоритма
Свойства алгоритма
ЧАСТЬ Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Масштабируемость алгоритма и его реализации
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Выводы для классов архитектур
Существующие реализации алгоритма
Литература
