Участник:SKirill/Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений

Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
Последовательный алгоритм
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный вектор

Авторы: Шохин К.О., Лебедев А.А.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений является обобщением метода Ньютона решения нелинейных уравнений, который основан на идеи линеаризации. Пусть [math]\displaystyle{ F(x) : R^1 \to R^1 }[/math] - дифференцируемая функция и необходимо решить уравнение [math]\displaystyle{ F(x) = 0 }[/math].

Взяв некоторое [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] в качестве начального приближения решения, мы можем построить линейную аппроксимацию

[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] в окрестности [math]\displaystyle{ x_0 : F(x_0+h) \approx F(x_0)+F^'(x_0)h }[/math] и решить получающееся линейное уравнение [math]\displaystyle{ F(x_0 )+F^' (x_0 )h =0 }[/math].

Таким образом получаем итеративный метод : [math]\displaystyle{ x_{k+1} = x_k - {F^'(x_k)}^{-1}F(x_k) , k = 0,1,\ldots }[/math]

Данный метод был предложен Ньютоном в 1669 году. Более точно, Ньютон оперировал только с полиномами; в выражении для [math]\displaystyle{ F(x+h) }[/math] он отбрасывал члены более высокого порядка по h , чем линейные. Ученик Ньютона Рафсон в 1690 г. предложил общую форму метода (т. е. не предполагалось что [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] обязательно полином и использовалось понятие производной), поэтому часто говорят о методе Ньютона—Рафсона. Дальнейшее развитие исследований связано с именами таких известных математиков, как Фурье, Коши и другие. Например, Фурье доказал в 1818 г., что метод сходится квадратично в окрестности корня, а Коши (1829, 1847) предложил многомерное обобщение метода и использовал метод для доказательства существования решения уравнения.

Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная нагрузка заключается в решении СЛАУ:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial F(x^{(k)})}{\partial x}\Delta x^{(k)} = -F(x^{(k)}) }[/math]

Для нахождения значения [math]\displaystyle{ \Delta x^{(k)} }[/math], по которому вычисляется значение вектора [math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math], на очередной итерации вычисляется значение: [math]\displaystyle{ x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)} }[/math]

Литература

Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа — М., Академия, 2007. - 320 c.

Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков. Г. М. — 6-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.

<references \>