Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции: различия между версиями
| Строка 31: | Строка 31: | ||
Для <math>D(n)</math> есть точное значение: <math>\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. | Для <math>D(n)</math> есть точное значение: <math>\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. | ||
<math>D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. Если использовать сортировку со сложностью <math>S(n) = O(n\log{n})</math>, то <math>D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log{k}log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(\log{k}\cdot n\log{n})</math>. | <math>D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})</math>. Если использовать сортировку со сложностью <math>S(n) = O(n\log{n})</math>, то <math>D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log{k}\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(\log{k}\cdot n\log{n})</math>. | ||
== Информационный граф == | == Информационный граф == | ||
Версия от 10:11, 15 октября 2016
Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Математическое описание алгоритма
Вычислительное ядро алгоритма
Макроструктура алгоритма
Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]\displaystyle{ k-1 }[/math]) сортировки(функция sort).
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Обозначим через [math]\displaystyle{ D_k(n) }[/math] сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с [math]\displaystyle{ n }[/math] вершинами на [math]\displaystyle{ k }[/math] частей.
Введем [math]\displaystyle{ D(n) = D_k(n) }[/math] при [math]\displaystyle{ k = n }[/math]. Для [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] верно следующее рекуррентное равенство:
[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array} }[/math], где [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] это сложность алгоритма сортировки массива из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов.
Пусть [math]\displaystyle{ S(n) = O(n\log{n}) }[/math], например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве [math]\displaystyle{ D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon} }[/math].
Для [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] есть точное значение: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i}) }[/math].
[math]\displaystyle{ D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i}) }[/math]. Если использовать сортировку со сложностью [math]\displaystyle{ S(n) = O(n\log{n}) }[/math], то [math]\displaystyle{ D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log{k}\log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}}\frac{n}{2^i})) = O(\log{k}\cdot n\log{n}) }[/math].