Участник:Kozlov Vladimir/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией: различия между версиями
| Строка 3: | Строка 3: | ||
'''Алгоритм Ланцоша''' — это итерационный алгоритм поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Алгоритм применяется, когда матрица <math>A</math> слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм '''метод Рэлея-Ритца''' поиска приближённых собственных значений и '''метод Ланцоша''' построения крыловского подпространства. | '''Алгоритм Ланцоша''' — это итерационный алгоритм поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Алгоритм применяется, когда матрица <math>A</math> слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм '''метод Рэлея-Ритца''' поиска приближённых собственных значений и '''метод Ланцоша''' построения крыловского подпространства. | ||
Метод Рэлея-Ритца является методом поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Если <math>Q = [Q_k, Q_u]</math> — ортонормированная матрица размера <math>n \times n</math>, <math>Q_k</math> имеет размер <math>n \times k</math>, <math>Q_u</math> имеет размер <math>n \times n - k</math>, то | Метод Рэлея-Ритца является методом поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Если <math>Q = [Q_k, Q_u]</math> — ортонормированная матрица размера <math>n \times n</math>, <math>Q_k</math> имеет размер <math>n \times k</math>, <math>Q_u</math> имеет размер <math>n \times n - k</math>, то можно записать равенство | ||
<math>T = Q^T A Q = </math> | |||
<math>T = Q^T A Q = \left[ \begin{array}{cc} | |||
T_{k} & T_{ku}^T\\ | |||
T_{ku} & T_{u} | |||
\end{array} \right].</math> | |||
Метод Рэлея-Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы <math>T_k</math> объявляются приближёнными собственными значениями матрицы <math>A</math>. Можно показать, что | |||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Версия от 12:02, 15 октября 2016
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм Ланцоша — это итерационный алгоритм поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Алгоритм применяется, когда матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм метод Рэлея-Ритца поиска приближённых собственных значений и метод Ланцоша построения крыловского подпространства.
Метод Рэлея-Ритца является методом поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ Q = [Q_k, Q_u] }[/math] — ортонормированная матрица размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times k }[/math], [math]\displaystyle{ Q_u }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times n - k }[/math], то можно записать равенство
[math]\displaystyle{ T = Q^T A Q = \left[ \begin{array}{cc} T_{k} & T_{ku}^T\\ T_{ku} & T_{u} \end{array} \right]. }[/math]
Метод Рэлея-Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ T_k }[/math] объявляются приближёнными собственными значениями матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Можно показать, что