Участник:Kozlov Vladimir/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша — это итерационный алгоритм поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Алгоритм применяется, когда матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм метод Рэлея-Ритца поиска приближённых собственных значений и метод Ланцоша построения крыловского подпространства.

Метод Рэлея-Ритца является методом поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ Q = [Q_k, Q_u] }[/math] — ортонормированная матрица размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times k }[/math], [math]\displaystyle{ Q_u }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times n - k }[/math], то можно записать равенство

[math]\displaystyle{ T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = \left[ \begin{array}{cc} Q_k^T A Q_k & Q_k^T A Q_u\\ Q_u^T A Q_k & Q_u^T A Q_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} T_{k} & T_{ku}^T\\ T_{ku} & T_{u} \end{array} \right]. }[/math]

Метод Рэлея-Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ T_k }[/math] объявляются приближёнными собственными значениями матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Можно показать, что