Участник:Kozlov Vladimir/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией: различия между версиями
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Свойства и структура алгоритма == | == Свойства и структура алгоритма == | ||
=== Общее описание алгоритма === | === Общее описание алгоритма === | ||
'''Алгоритм Ланцоша''' — это итерационный алгоритм поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Алгоритм применяется, когда матрица <math>A</math> слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм '''метод Рэлея | '''Алгоритм Ланцоша''' — это итерационный алгоритм поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Алгоритм применяется, когда матрица <math>A</math> слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм '''метод Рэлея — Ритца''' поиска приближённых собственных значений и '''метод Ланцоша''' построения крыловского подпространства. | ||
Метод Рэлея | Метод Рэлея — Ритца является методом поиска <math>k</math> приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math>. Если <math>Q = [Q_k, Q_u]</math> — ортонормированная матрица размера <math>n \times n</math>, <math>Q_k</math> имеет размер <math>n \times k</math>, <math>Q_u</math> имеет размер <math>n \times n - k</math>, то можно записать равенство | ||
<math>T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = | <math>T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = | ||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
\end{array} \right].</math> | \end{array} \right].</math> | ||
Метод Рэлея | Метод Рэлея — Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы <math>T_k = Q_k^T A Q_k</math> объявляются приближёнными собственными значениями матрицы <math>A</math>. Такое приближение является в некотором смысле «наилучшим»: можно показать, что если <math>T_k = V \Lambda V^{-1}</math> — спектральное разложение <math>T_k</math>, то пара <math>(Q_k V, \Lambda)</math> минимизирует функционал <math>L(P_k, D) = \Vert A P_k - P_k D \Vert_2</math>, причём <math>L(Q_k V, \Lambda) = \Vert T_{ku} \Vert_2</math>, то есть <math>A \approx (Q_k V) \Lambda (Q_k V)^{-1}</math> — приближённое спектральное разложение матрицы <math>A</math>. Из этого также видно, что метод Рэлея — Ритца позволяет получать приближения для собственных векторов матрицы <math>A</math>. Более того, можно показать, что собственные значения <math>T</math> отличаются от некоторых собственных значений <math>A</math> не более чем на <math>\Vert T_{ku} \Vert_2</math>. Метод Ланцоша — это метод построения матрицы <math>Q</math>, при использовании которого, во-первых, матрица <math>T</math> оказывается симметричной трёхдиагональной, во-вторых, столбцы <math>Q</math> и <math>T</math> вычисляются последовательно. | ||
В теории в методе Ланцоша для вычисления каждого следующего столбца <math>q_{j + 1}</math> матрицы <math>Q</math> достаточно знать только <math>q_{j - 1}</math> и <math>q_{j}</math> в силу трёхдиагональности матрицы <math>T</math>. На практике из-за ошибок округления, если не предпринимать специальных мер, набор векторов <math>q_{1}, \dots, q_{k}</math> перестаёт быть ортогональным. Для борьбы с этим явлением на каждом шаге метода Ланцоша приходится выполнять так называемую переортогонализацию — повторно запускать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. | |||
=== Математическое описание алгоритма === | === Математическое описание алгоритма === | ||
Версия от 14:03, 15 октября 2016
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм Ланцоша — это итерационный алгоритм поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Алгоритм применяется, когда матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм метод Рэлея — Ритца поиска приближённых собственных значений и метод Ланцоша построения крыловского подпространства.
Метод Рэлея — Ритца является методом поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ Q = [Q_k, Q_u] }[/math] — ортонормированная матрица размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times k }[/math], [math]\displaystyle{ Q_u }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times n - k }[/math], то можно записать равенство
[math]\displaystyle{ T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = \left[ \begin{array}{cc} Q_k^T A Q_k & Q_k^T A Q_u\\ Q_u^T A Q_k & Q_u^T A Q_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} T_{k} & T_{ku}^T\\ T_{ku} & T_{u} \end{array} \right]. }[/math]
Метод Рэлея — Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ T_k = Q_k^T A Q_k }[/math] объявляются приближёнными собственными значениями матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Такое приближение является в некотором смысле «наилучшим»: можно показать, что если [math]\displaystyle{ T_k = V \Lambda V^{-1} }[/math] — спектральное разложение [math]\displaystyle{ T_k }[/math], то пара [math]\displaystyle{ (Q_k V, \Lambda) }[/math] минимизирует функционал [math]\displaystyle{ L(P_k, D) = \Vert A P_k - P_k D \Vert_2 }[/math], причём [math]\displaystyle{ L(Q_k V, \Lambda) = \Vert T_{ku} \Vert_2 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ A \approx (Q_k V) \Lambda (Q_k V)^{-1} }[/math] — приближённое спектральное разложение матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Из этого также видно, что метод Рэлея — Ритца позволяет получать приближения для собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Более того, можно показать, что собственные значения [math]\displaystyle{ T }[/math] отличаются от некоторых собственных значений [math]\displaystyle{ A }[/math] не более чем на [math]\displaystyle{ \Vert T_{ku} \Vert_2 }[/math]. Метод Ланцоша — это метод построения матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math], при использовании которого, во-первых, матрица [math]\displaystyle{ T }[/math] оказывается симметричной трёхдиагональной, во-вторых, столбцы [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] вычисляются последовательно.
В теории в методе Ланцоша для вычисления каждого следующего столбца [math]\displaystyle{ q_{j + 1} }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math] достаточно знать только [math]\displaystyle{ q_{j - 1} }[/math] и [math]\displaystyle{ q_{j} }[/math] в силу трёхдиагональности матрицы [math]\displaystyle{ T }[/math]. На практике из-за ошибок округления, если не предпринимать специальных мер, набор векторов [math]\displaystyle{ q_{1}, \dots, q_{k} }[/math] перестаёт быть ортогональным. Для борьбы с этим явлением на каждом шаге метода Ланцоша приходится выполнять так называемую переортогонализацию — повторно запускать процесс ортогонализации Грама-Шмидта.