Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации)

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков [math]\displaystyle{ n }[/math], что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых [math]\displaystyle{ k }[/math] собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих собственных векторов исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы, такие как частичная или полная переортогонализация. Этим модифицированным методам посвящены отдельные статьи на данном ресурсе.

Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте статьи, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства [2, с.313]. Здесь же дано краткое описание всех переменных, математических операций и необходимый теоретический минимум.

Алгоритм Ланцоша для вычисления [math]\displaystyle{ k }[/math] собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math] в точной арифметике [2, с.381] :

[math]\displaystyle{ \begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & j = 1 \; to \; k \\ & z = A\,q_j\\ & \alpha_j = q^T_j z\\ & z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\ & \beta_j = \|z\|_2\\ & If \; (\beta_j == 0) \; then\; stop\; the\; algorithm \\ & \; q_{j+1} = z / \beta_j \\ & compute\; eigenvalues\; and \;eigenvectors\;of \;matrix \;\;T_j= Q^T_j A Q\;\;and\;estimate \;the\; errors\\ end \; & for \end{align} }[/math]

В продемонстрированном выше алгоритме [math]\displaystyle{ b }[/math] - заданный вещественный вектор. Также полагается известным алгоритм вычисления произведения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на вектор [math]\displaystyle{ x }[/math]. Введём матрицу Крылова, определяемую следующим соотношением: [math]\displaystyle{ K_j = [b,Ab,A^2b,...,A^{j-1}b] }[/math].

Далее, на практике, матрица [math]\displaystyle{ K }[/math] заменяется матрицей [math]\displaystyle{ Q }[/math], такой, что при любом числе [math]\displaystyle{ k }[/math] линейные оболочки первых [math]\displaystyle{ k }[/math] столбцов в [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] являются одним и тем же подпространством [2,c.315]. Тогда матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math], в отличие от матрицы [math]\displaystyle{ K }[/math], хорошо обусловлена и легко обратима. В результате получаем матрицу [math]\displaystyle{ Q_j = [q_1, q_2, \dots, q_j] }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n \times j }[/math], столбцы которой ортогональны, являются базисом подпространства Крылова и называются векторами Ланцоша.

В алгоритме Ланцоша вычислению подлежит столько первых столбцов в матрице [math]\displaystyle{ Q_j }[/math], сколько необходимо для получения требуемого приближения к решению [math]\displaystyle{ A\,x\,=b\,\,(A\,x=\lambda \, x) }[/math].

Получение нулевого [math]\displaystyle{ \beta_j }[/math] в итерационном процессе - событие, желательное в том смысле, что оно свидетельствует о том, что найдено некоторое подпространство, являющееся в точности инвариантным. На практике же нулевое и близкие к нулю значения получаются редко [3, стр. 429].

Затем на каждом шаге цикла формируется симметричную трёхдиагональную матрицу [math]\displaystyle{ T_j = Q^T_j A Q }[/math], к которой применяется процесс Рэлея-Ритца для поиска её собственных значений (на практике для поиска этих собственных значений можно использовать любой из специальных методов, изложенных в [3, [math]\displaystyle{ \S }[/math] 8.4]). Эти собственные значения, они же числа Ритца, и полагаются приближёнными собственными значениями исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро рассматриваемого алгоритма (наиболее ресурсно-затратная часть алгоритма) - формирование на каждом шаге цикла промежуточного вектора [math]\displaystyle{ z }[/math], вычисляемого по формуле: [math]\displaystyle{ z = A\,q_j }[/math]

Макроструктура алгоритма

Как уже было упомянуто в данной статье в описании алгоритма, рассматриваемый алгоритм состоит из двух последовательно выполненных алгоритмов: метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедура Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих собственных векторов исходной матрицы.

В первой части алгоритма, где итерационно строятся Крыловское подпространство и трёхдиагональная матрица [math]\displaystyle{ T_j }[/math], можно выделить следующие макрооперации:

• умножение матрицы на вектор (в свою очередь представляет собой умножение вектора на число и сложение векторов);
• вычисление нормы (скалярное произведение векторов + вычисление квадратного корня);
• скалярное произведение векторов;
• сложение векторов и их умножение на вещественные числа

Умножение матрицы на вектор - весьма дешевая и нетривиальная операция, если предполагать, что исходная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] разреженная. Именно она подлежит оптимизации с использованием техник распараллеливания, поскольку она является вычислительным ядром алгоритма, а весь упомянутый процесс построения матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math] выполняется последовательно.

Вторая часть алгоритма - поиск собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math], в нашем случае с помощью процедуры Рэлея-Ритца, может рассматриваться как отдельная макрооперация.

Литература

[1] Парлетт Б. - Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel - Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391

[3] Голуб Дж., Ван Лоун Ч. - Матричные вычисления//М.: Мир. - 1999. - С. 426-436