Прогонка, точечный вариант

Прогонка для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ 8n-7 }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ 4n-2 }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ n }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(n) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]

Основные авторы описания: А.В.Фролов

Свойства и структура алгоритмов

Граф алгоритма при n=8 без отображения входных и выходных данных. / - деление, f - операция a+bc или a-bc.

Общее описание алгоритма

Прогонка - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ вида [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} }[/math]

Часто, однако, при изложении сути метода прогонки элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид ([math]\displaystyle{ N=n+1 }[/math])

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} c_{0} & -b_{0} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -a_{1} & c_{1} & -b_{1} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -a_{2} & c_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & -a_{N-1} & c_{N-1} & -b_{N-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_{N} & c_{N} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{N} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{0} \\ f_{1} \\ \vdots \\ f_{N} \\ \end{bmatrix} }[/math]

или, если записывать отдельно по уравнениям, то

[math]\displaystyle{ c_{0} y_{0} - b_{0} y_{1} = f_{0},\\ -a_{i} y_{i-1} + c_{i} y_{i} - b_{i} y_{i+1} = f_{i}, 1 \le i \le N-1, \\ -a_{N} y_{N-1} + c_{N} y_{N} = f_{N} }[/math]

Суть метода - в исключении из уравнений неизвестных, сначала - сверху вниз - под диагональю, а потом - снизу вверх - над диагональю.

Математическое описание

В приведённых обозначениях в прогонке сначала выполняют её прямой ход - вычисляют коэффициенты

[math]\displaystyle{ \alpha_{1} = b_{0}/c_{0},\\ \beta_{1} = f_{0}/c_{0}, \\ \alpha_{i+1} = b_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \quad i = 1, 2, \cdots , N-1, \\ \beta_{i+1} = (f_{i}+a_{i}\beta_{i}/(c_{i}-a_{i}\alpha_{i}), \quad i = 1, 2, \cdots , N. }[/math]

после чего вычисляют решение с помощью обратного хода

[math]\displaystyle{ y_{N} = \beta_{N+1}, \\ y_{i} = \alpha_{i+1} y_{i+1} + \beta_{i+1}, \quad i = N-1, N-2, \cdots , 1, 0. }[/math]

В литературе указывается, что данные формулы эквиваленты вычислению одного из [math]\displaystyle{ LU }[/math]-разложений матрицы системы с последующим решением двухдиагональных систем методом обратной подстановки.

Последовательная сложность алгоритма

Для выполнения прогонки в трёхдиагональной СЛАУ из n уравнений с n неизвестными в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

• [math]\displaystyle{ 2n-1 }[/math] делений,
• [math]\displaystyle{ 3n-3 }[/math] сложений/вычитаний,
• [math]\displaystyle{ 3n-3 }[/math] умножений.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, прогонка относится к алгоритмам с линейной сложностью.