Метод ортогонализации

Ортогонализация Грама-Шмидта — это один из методов, в которых на основе множества линейно независимых векторов [math]\displaystyle{ {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{N}} }[/math] строится множество ортогональных векторов [math]\displaystyle{ {\displaystyle \mathbf {b}_{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{N}} }[/math] или ортонормированных векторов [math]\displaystyle{ {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e}_{N}} }[/math], причём так, что каждый вектор [math]\displaystyle{ {\displaystyle \mathbf {b} _{j}} }[/math] или [math]\displaystyle{ {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} }[/math] может быть выражен линейной комбинацией векторов [math]\displaystyle{ {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\; \mathbf {a} _{j}} }[/math]. Данный процесс может быть использован для получения QR-разложения, в которой систему исходных векторов образуют столбцы исходной матрицы, а столбцы матрицы Q представляют из себя набор полученных при ортогонализации векторов. Таким образом, в отличие от методов Гивенса (вращений) и Хаусхолдера (отражений), основанных на приведении матрицы левыми унитарными/ортогональными преобразованиями к треугольному виду, метод ортогонализации основан на приведении матрицы правыми неортогональными (можно сказать, треугольными) преобразованиями к унитарному/ортогональному виду.

Математические основы метода

Классический метод ортогонализации довольно прост, однако из-за неустойчивости, проявляющейся в неортогональности получаемых систем, редко применяется на практике.

Наиболее распространённой формой метода является Вариант метода ортогонализации с переортогонализацией.