Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.

Математическое описание алгоритма

Рассмотрим систему уравнений [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A^* = A \gt 0 }[/math].
Выберем произвольное начальное приближение [math]\displaystyle{ x^{(0)} }[/math] и перейдем к редуцированной системе [math]\displaystyle{ Au = r^{(0)} }[/math], где [math]\displaystyle{ r^{(0)} = b - Ax^{(0)} }[/math], [math]\displaystyle{ x = x^{(0)} + u }[/math].