Итерация алгоритма dqds
| Алгоритм dqds нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]\displaystyle{ 5n-4 }[/math] |
| Объём входных данных | [math]\displaystyle{ 2n }[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\displaystyle{ 2n }[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ 4n-3 }[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
Основные авторы описания: А.Ю.Чернявский
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Итерация алгоритма dqds является одним шагом итерационного алгоритма для нахождения сингулярных чисел двухдиагональной матрицы.
Математическое описание алгоритма
Формулы алгоритма следующие:
- [math]\displaystyle{ \widehat{q}_j = q_j + e_j - \widehat{e}_{j-1} - \delta, \quad j \in [1,n-1]\\ \widehat{e}_j = e_j \cdot q_{j+1} / \widehat{q}_j, \quad j \in [1,n-1]\\ \widehat{q}_n = q_n - \widehat{e}_{n-1} - \delta. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ q_j, \; j \in [1,n] }[/math] и [math]\displaystyle{ e_j, \; j \in [1,n-1] }[/math] - квадраты элемнтов главной и верхней побочной диагональ соответственно. Крышка означает выходные переменные, а
[math]\displaystyle{ \delta }[/math] - сдвиг (параметр алгоритма). Такая математическая запись наиболее компактна и соответсвует так называемой qds-итерации.
Представим также математическую запись, приближенную к dqds-итерации (с математической точки зрения qds и dqds-итерации эквивалентны) с введенными вспомогательными переменными
[math]\displaystyle{ t_j }[/math] и [math]\displaystyle{ d_j: }[/math]
- [math]\displaystyle{ d_1 = q_1 - \delta, \; q_n = d_n \\ для \; j\in [1,n-1]: \\ \widehat{q}_j = d_j + e_j\\ t_j = q_{j+1}/\widehat{q}_j\\ \widehat{e}_j=e_j \cdot t_j \\ d_{j+1} = d \cdot t - \delta \\ }[/math]
Отметим, что при [math]\displaystyle{ \delta=0 }[/math] две итерации dqds эквиваленты одной QR-итерации.
Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительным ядром алгоритма является производимое n-1 раз вычисление, содержащие по одной операции сложения, вычитания и деления, а также две операции умножения.
Макроструктура алгоритма
Алгоритм состоит из отдельного вычисления первого элемента главной диагонали и последующим (n-1)-кратным выполнением повторяющейся последовательности из 5 операций (+,/,*,*,-).
Схема реализации последовательного алгоритма
Отметим, что выходные данные сразу могут быть записаны во взодные (это учтено в схеме), также для хранения вспомогательных [math]\displaystyle{ t_j }[/math] и [math]\displaystyle{ d_j }[/math] достаточно двух
перезаписываемых переменных.
- Вычисляется начальное значение [math]\displaystyle{ d = q_1-\delta }[/math]
- Производится цикл по i от 1 до n-1, состоящий из:
- Вычисляется [math]\displaystyle{ q_n = d. }[/math]