Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(n^3) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: [math]\displaystyle{ k }[/math] векторов [math]\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math] ([math]\displaystyle{ \alpha_{ij} }[/math], [math]\displaystyle{ j=1,2,...,n }[/math], — координаты вектора [math]\displaystyle{ a_i }[/math] ).

Вычисляемые данные:

[math]\displaystyle{ k }[/math] ортогональных векторов [math]\displaystyle{ b_1,b_2,...,b_n }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math], причем [math]\displaystyle{ b_1=a_1 }[/math] либо

[math]\displaystyle{ k }[/math] ортонормированных векторов [math]\displaystyle{ e_1,e_2,...,e_n }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math], причем [math]\displaystyle{ e_1=\frac{a_1}{|a_1|} }[/math]

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ \begin{align} b_{1} & =a_{1}, \\ b_{2}& =a_{2}=proj_{b_1}a_{1}, \\ & ...\\ \b_{i} & = a_{i}-\sum\limits_{j=1}^n proj_{b_j}a_{j},\\ & ...\\ \b_{n} & = a_{n}-\sum\limits_{j=1}^n proj_{b_j}a_{j},\\ \end{align} }[/math]

Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

Схема реализации последовательного алгоритма

[math]\displaystyle{ \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} }[/math]

Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Процесс_Грама_―_Шмидта – Электрон. дан. – URL [1] (дата обращения 18.09.2016)