Участник:Lexaloris/Умножение разреженной матрицы на вектор

Авторы страницы: Кочетков П.А и Новоселов А.Д.

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Пусть N — число строк матрицы. Если b — заполненный, то к его элементам, находящимся в В, доступ может быть про­извольным. Для каждой ее строки I матрицы мы находим с помощью IA значения первой IAA и последней IAB позиций, занимаемых элементами строки I в массивах JA и AN. Затем, чтобы вычислить скалярное произведение строки I и вектора В, мы просто просматриваем JA и AN на отрезке от IAA до IAB: каждое значение, хранимое в JA, есть столбцовый индекс и используется для извлечения из массива В элемента, который должен бытьумножен на соответствующее число из AN. Результат каж­дого умножения прибавляется к С (I).

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

[math]\displaystyle{ IA, JA, AN }[/math] - заданная матрица в форме RR (С) U;

[math]\displaystyle{ B }[/math] - заданный заполненный вектор;

[math]\displaystyle{ N }[/math] - число строк матрицы.

Выход: [math]\displaystyle{ C }[/math] вектор-произведение размерности [math]\displaystyle{ N }[/math].

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ \begin{align} & IAA_{i} = IA(i), \quad i \in [1, N], \\ & IAB_{i} = IA(i + 1) - 1, \quad i \in [1, N], \\ & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align} }[/math]

Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

Далее для всех [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ N }[/math] по нарастанию выполняются:

1. [math]\displaystyle{ c_{i} = 0; IAA = IA(i); IAB = IA(i + 1 ) - 1 }[/math]

После этого, если [math]\displaystyle{ (IAB \lt = IAA) }[/math]:

2. Для всех [math]\displaystyle{ j }[/math] от [math]\displaystyle{ IAA }[/math] до [math]\displaystyle{ IAB }[/math] выполняется:

[math]\displaystyle{ c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)) }[/math]

Последовательная сложность алгоритма

Для всего алгоритма потребуется выполнить [math]\displaystyle{ O(M) }[/math] операций, где [math]\displaystyle{ M }[/math] - число ненулевых эле­ментов матрицы.

Свойства алгоритма

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Литература

<references \>