Участник:Руфина Третьякова/Хранение ненулевых элементов разреженных матриц. Умножение разреженной матрицы на вектор

Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Авторы статьи: Третьякова Р. М. (группа 603), Буторина Е. В. (группа 603)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Разрежённая матрица — это матрица с преимущественно нулевыми элементами. В противном случае, если бо́льшая часть элементов матрицы ненулевые, матрица считается плотной. Среди специалистов нет единства в определении того, какое именно количество ненулевых элементов делает матрицу разрежённой. Разные авторы предлагают различные варианты. Огромные разрежённые матрицы часто возникают при решении таких задач, как дифференциальное уравнение в частных производных. При хранении и преобразовании разрежённых матриц в компьютере бывает полезно, а часто и необходимо, использовать специальные алгоритмы и структуры данных, которые учитывают разрежённую структуру матрицы. Операции и алгоритмы, применяемые для работы с обычными, плотными матрицами, применительно к большим разрежённым матрицам работают относительно медленно и требуют значительных объёмов памяти. Однако разрежённые матрицы могут быть легко сжаты путём записи только своих ненулевых элементов, что снижает требования к компьютерной памяти.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: разреженная матрица [math]\displaystyle{ A^{n*n} }[/math], вектор [math]\displaystyle{ b^{n*1} }[/math]

Рассмотрим CSR-представление разреженных матриц

CSR-формат представляет матрицу Шаблон:Math в виде 3-х одномерных массивов:

массив [math]\displaystyle{ A }[/math] содержит ненулевые значения матрицы, [math]\displaystyle{ JA }[/math] - номера столбцов ненулевых элементов., [math]\displaystyle{ IA }[/math]- содержит номер с которого начинается описание элементов в массивах, Этот формат позволяет быстро производить р=перемножение матрицы на вектор (Шаблон:Math).

The CSR format stores a sparse Шаблон:Math matrix Шаблон:Math in row form using three (one-dimensional) arrays Шаблон:Math. Let Шаблон:Math denote the number of nonzero entries in Шаблон:Math. (Note that zero-based indices shall be used here.)

• The array Шаблон:Math is of length Шаблон:Math and holds all the nonzero entries of Шаблон:Math in left-to-right top-to-bottom ("row-major") order.
• The array Шаблон:Math is of length Шаблон:Math. It is defined by this recursive definition:
  • Шаблон:Math
  • Шаблон:Math (number of nonzero elements on the Шаблон:Math-th row in the original matrix)
  • Thus, the first Шаблон:Math elements of Шаблон:Math store the index into Шаблон:Math of the first nonzero element in each row of Шаблон:Math, and the last element Шаблон:Math stores Шаблон:Math, the number of elements in Шаблон:Math, which can be also thought of as the index in Шаблон:Math of first element of a phantom row just beyond the end of the matrix Шаблон:Math. The values of the Шаблон:Math-th row of the original matrix is read from the elements Шаблон:Math to Шаблон:Math (inclusive on both ends), i.e. from the start of one row to the last index just before the start of the next.
• The third array, Шаблон:Math, contains the column index in Шаблон:Math of each element of Шаблон:Math and hence is of length Шаблон:Math as well.

Например, матрица

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

это Шаблон:Math разреженная матрица с 4-мя ненулевыми элементами, представляемая в формате CSR

   A  = [ 5 8 3 6 ]
   IA = [ 0 0 2 3 4 ]
   JA = [ 0 1 2 1 ]

где вектор

Вычисляемые данные: вектор [math]\displaystyle{ c^{n*1} }[/math]

Макроструктура алгоритма

Псевдокод алгоритма:

Входные данные:
 число строк матрицы n; 
 разреженная матрица в формате CSR:
   строчные указатели IA,
   столбцовые указателиJA, 
   ненулевые элементы A;
 вектор x.
Выходные данные: произведение матрицы на вектор y.

Q := new priority queue
for i = 1,n:
 for k = IA(i), IA(i+1)-1:
           y(i) += A(k)*x(JA(k));

Схема реализации последовательного алгоритма

Метод можно описать следующим образом:

Последовательная сложность алгоритма

Для вычисления сингулярных чисел и векторов матрицы порядка n в последовательном варианте требуется:

• [math]\displaystyle{ }[/math] делений,
• [math]\displaystyle{ }[/math] сложений (вычитаний),
• [math]\displaystyle{ }[/math] умножений.

Литература

1. С. Писсанецки Технология разреженных матриц. Изд. Мир, 1988.