Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции

Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.

Свойства и структура алгоритмов

Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего [math]\displaystyle{ k-1 }[/math]) сортировки(функция sort).

Последовательная сложность алгоритма

Обозначим через [math]\displaystyle{ D_k(n) }[/math] сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с [math]\displaystyle{ n }[/math] вершинами на [math]\displaystyle{ k }[/math] частей.

Введем [math]\displaystyle{ D(n) = D_k(n) }[/math] при [math]\displaystyle{ k = n }[/math]. Для [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] верно следующее рекуррентное равенство:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array} }[/math], где [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] это сложность алгоритма сортировки массива из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов.

Пусть [math]\displaystyle{ S(n) = O(n\log{n}) }[/math], например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве [math]\displaystyle{ D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon} }[/math].

Для [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] есть точное значение: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i}) }[/math].

[math]\displaystyle{ D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i}) }[/math]. Если использовать сортировку со сложностью [math]\displaystyle{ S(n) = O(n\log{n}) }[/math], то [math]\displaystyle{ D_k(n) O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{n}{2^i})) }[/math]