Участник:Kozlov Vladimir/Алгоритм Ланцоша для арифметики с плавающей точкой с полной переортогонализацией

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша — это итерационный алгоритм поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Алгоритм применяется, когда матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] слишком велика, чтобы к ней можно было применять точные прямые методы вычисления собственных значений. Алгоритм метод Рэлея — Ритца поиска приближённых собственных значений и метод Ланцоша построения крыловского подпространства.

Метод Рэлея — Ритца является методом поиска [math]\displaystyle{ k }[/math] приближённых собственных значений симметричной вещественной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ Q = [Q_k, Q_u] }[/math] — ортонормированная матрица размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times k }[/math], [math]\displaystyle{ Q_u }[/math] имеет размер [math]\displaystyle{ n \times n - k }[/math], то можно записать равенство

[math]\displaystyle{ T = Q^T A Q = [Q_k, Q_u]^T A [Q_k, Q_u] = \left[ \begin{array}{cc} Q_k^T A Q_k & Q_k^T A Q_u\\ Q_u^T A Q_k & Q_u^T A Q_u \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} T_{k} & T_{ku}^T\\ T_{ku} & T_{u} \end{array} \right]. }[/math]

Метод Рэлея — Ритца заключается в том, что собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ T_k = Q_k^T A Q_k }[/math] объявляются приближёнными собственными значениями матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Такое приближение является в некотором смысле «наилучшим»: можно показать, что если [math]\displaystyle{ T_k = V \Lambda V^{-1} }[/math] — спектральное разложение [math]\displaystyle{ T_k }[/math], то пара [math]\displaystyle{ (Q_k V, \Lambda) }[/math] минимизирует функционал [math]\displaystyle{ L(P_k, D) = \Vert A P_k - P_k D \Vert_2 }[/math], причём [math]\displaystyle{ L(Q_k V, \Lambda) = \Vert T_{ku} \Vert_2 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ A \approx (Q_k V) \Lambda (Q_k V)^{-1} }[/math] — приближённое спектральное разложение матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Из этого также видно, что метод Рэлея — Ритца позволяет получать приближения для собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Более того, можно показать, что собственные значения [math]\displaystyle{ T }[/math] отличаются от некоторых собственных значений [math]\displaystyle{ A }[/math] не более чем на [math]\displaystyle{ \Vert T_{ku} \Vert_2 }[/math]. Метод Ланцоша — это метод построения матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math], при использовании которого, во-первых, матрица [math]\displaystyle{ T }[/math] оказывается симметричной трёхдиагональной, во-вторых, столбцы [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] вычисляются последовательно.

В теории в методе Ланцоша для вычисления каждого следующего столбца [math]\displaystyle{ q_{j + 1} }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math] достаточно знать только [math]\displaystyle{ q_{j - 1} }[/math] и [math]\displaystyle{ q_{j} }[/math] в силу трёхдиагональности матрицы [math]\displaystyle{ T }[/math]. На практике из-за ошибок округления, если не предпринимать специальных мер, набор векторов [math]\displaystyle{ q_{1}, \dots, q_{k} }[/math] перестаёт быть ортогональным. Для борьбы с этим явлением на каждом шаге метода Ланцоша приходится выполнять так называемую переортогонализацию — повторно запускать процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: симметрическая матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица, для которой будут вычисляться собственные значения, вектор [math]\displaystyle{ b }[/math] — начальное приближение для метода Ланцоша.

Формулы метода:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} q_1 = b / \Vert b \Vert_2, \beta_0 = 0, q_0 = 0\\ j = \overline{1, k}:\\ \quad z_j = A q_j \\ \quad \alpha_j = q_j^T A q_j = q_j^T z_j \\ \quad z_j' = z_j - \sum_{i=1}^j (z_j^T q_i) q_i \\ \quad z_j'' = z_j' - \sum_{i=1}^j (z_j'^T q_i) q_i\\ \quad \beta_j = \Vert z_j'' \Vert_2\\ \quad q_{j+1} = z_j'' / \Vert z_j'' \Vert_2 = z_j''/\beta_j \end{array} }[/math]

Вычисление [math]\displaystyle{ z_j', z_j'' }[/math] — это полная переортогонализация [math]\displaystyle{ z_j }[/math] методом Грама — Шмидта. Двойной запуск практически гарантирует, что [math]\displaystyle{ z_j'' }[/math] будет ортогонален [math]\displaystyle{ q_1, \dots, q_j }[/math].