Эта работа прошла предварительную проверку
Дата последней правки страницы: 13.11.2016
Данная работа соответствует формальным критериям.
Проверено Coctic.

Нечеткий алгоритм C средних
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(Mdc^2i) }[/math], [math]\displaystyle{ i }[/math] - количество итераций
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ Md }[/math], [количество наблюдений размерность]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ Mc }[/math], [количество наблюдений количество кластеров]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ 2i }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ n }[/math]

Авторы : Гелана Хазеева (1.3; 1.5; 1.6; 1.7; 2.4; 2.7), Павел Юшин (1.1; 1.2; 1.4; 1.8; 1.9; 1.10)

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Кластеризация - это объединение объектов в группы (кластеры) на основе схожести признаков для объектов одной группы и отличий между группами. Нечеткий алгоритм C Средних (Fuzzy C-means, FCM) - алгоритм кластеризации, позволяющий объектам принадлежать с различной степенью нескольким кластерам одновременно. Впервые алгоритм был предложен J.C. Dunn в 1973 ^[1]. Нечеткое разбиение позволяет просто решить проблему объектов, расположенных на границе двух кластеров - им назначают степени принадлежностей равные 0.5.

Входные данные алгоритма: набор векторов, которые следует кластеризовать.

Параметры алгоритма: [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров; [math]\displaystyle{ m }[/math] - экспоненциальный вес; [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] - параметр останова алгоритма.

Выходные данные: матрица вероятностей принадлежности векторов кластерам.

Краткое описание алгоритма:

Задать параметры алгоритма.

Сгенерировать случайную матрицу принадлежностей векторов кластерам (матрицу нечеткого разбиения).

Повторить следующие шаги до момента, пока матрицы нечеткого разбиения на этом и предыдущем шаге алгоритма будут отличать менее чем на параметр останова.
- Рассчитать центры кластеров.
- Рассчитать расстоение между объектами и центрами кластеров.
- Пересчитать элементы матрицы нечеткого разбиения.

Математическое описание алгоритма ^[2]

Пусть [math]\displaystyle{ W = w_{ij} \in[0,1],\; i = 1, ..., M, \; j = 1, ..., c }[/math] - матрица разбиения, где [math]\displaystyle{ w_{i,j} }[/math] - степень принадлежности объекта [math]\displaystyle{ i }[/math] к кластеру [math]\displaystyle{ j }[/math]; [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров, [math]\displaystyle{ M }[/math] - количество векторов.

При этом элементы матрицы должны удовлетворять условиям:

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^c w_{ij} = 1, i = 1, ..., M }[/math] [math]\displaystyle{ (1) }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 \lt \sum_{i = 1}^M w_{ij} \lt M, j = 1, ..., c }[/math] [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

Тогда алгоритм принимает следующий вид:

1) Задаем параметры алгоритма: [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров; [math]\displaystyle{ m \gt = 1 }[/math] - экспоненциальный вес, определяющий нечеткость кластеров; [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] - параметр останова алгоритма.

2) Генерируем случайным образом матрицу нечеткого разбиения с учетом условий [math]\displaystyle{ (1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

3) Рассчитываем центроиды (центры кластеров): [math]\displaystyle{ V_j = {{\sum_{i=1}^M w_{ij}^m * X_i} \over {\sum_{i=1}^M w_{ij}^m}}, j = 1, ..., c }[/math]

4) Рассчитываем расстояния между объектами [math]\displaystyle{ X }[/math] и центроидами:

[math]\displaystyle{ D_{ij} = {||X_i - V_j||}, i = 1,...,M; j = 1,...,c }[/math]

5) Пересчет элементов матрицы разбиения:

при [math]\displaystyle{ D_{ij} \gt 0 }[/math] : [math]\displaystyle{ w_{ij} = {{1}\over {{ (\sum_{k=1}^c {{D_{ij}}\over{D_{ik}}} ) }^{2/(m-1)}}}, j = 1,...,c }[/math]

при [math]\displaystyle{ D_{ij} =0 }[/math] : [math]\displaystyle{ w_{ij} = \delta_{ij}, j = 1,...,c }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] - символ Кронекера

6) Если [math]\displaystyle{ || F - F^{*} || \lt \varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ F^{*} }[/math] - матрица нечеткого разбиения предыдущей итерации, то идем далее, иначе возвращаемся на пункт 3.

7) Конец.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром алгоритма являются следующие пункты:

Поиск [math]\displaystyle{ V_j }[/math] - расчет центроидов (пункт 3 алгоритма)
Нахождение [math]\displaystyle{ D_{ij} }[/math] - расстояний между объектами (пункт 4 алгоритма)
Пересчет [math]\displaystyle{ w_{ij} }[/math] - элементов матрицы разбиения (пункт 5 алгоритма)

Макроструктура алгоритма

Основные шаги при реализации алгоритма

Генерация случайной матрицы размера [math]\displaystyle{ M }[/math] на где [math]\displaystyle{ c }[/math], проверка условий
Расчет центроидов – по сути, скалярное произведение с нормировкой
Расчет расстояний – в общепринятом случае является скалярным произведением
Пересчет матрицы – по сути, скалярное произведение
Проверка условий останова – вычисление нормы

Схема реализации последовательного алгоритма

   float ** FuzzyCMeans (float** X, c, m, eps){
       n = X.size();
       r = X[0].size();
       centers = generateZeroFill(c, r)
       Wprev = genetateRandFill(n, c);
       W = Wprev;
       while (true){
           // обновляем центры кластеров 
           for (int i=0; i<c; i++){
               float * num = new float []();
               float den = 0;
               for (int j=0; j<n; j++){
                   num += pow(W[j][i], m) * X[j];
                   den+=pow(W[j][i], m);
               }
               centers[i] = num / den;
           }
           //обновляем вероятности W и считаем расстояние между матрицами W и Wprev
           float max_diff = 0;
           for (int i=0; i<n; i++)
               for (int j=0; j<c; j++){
                   total = 0;
                   for (int m=0; m<с; m++)
                       total += pow(distance(X[i], centers[j]) / distance(X[i], centers[m]), 2/(m-1));
                   W[i][j] = 1/total;
                   max_diff = max(abs(Wprev[i][j]-W[i][j]), max_diff);
                   Wprev[i][j] = W[i][j];
              }               
          if (max_diff < eps):                
               break;
       }
       return W;
   }

Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма состоит из сложности каждой итерации умноженной на их количество. Так как число итераций заранее неизвестно и зависит от входных параметров, рассмотрим сложность на каждой итерации. Наибольшую сложность представляет собой пересчет матрицы, сложность которого [math]\displaystyle{ O(c^2 nd) }[/math] (по сравнению со сложностью [math]\displaystyle{ O(cnd) }[/math] расчета расстояний, вычисления центроидов и проверки условия останова). Итого общая сложность алгоритма [math]\displaystyle{ O(c^2 ndi) }[/math]

Информационный граф

Информационный граф представлен на рисунке ниже.

Первый ярус состоит из [math]\displaystyle{ M }[/math] параллельных операций 1, 2, совершаемых в цикле [math]\displaystyle{ c }[/math] раз для каждого кластера.

Операция 1: [math]\displaystyle{ w_{ij}^m }[/math], где [math]\displaystyle{ j }[/math] - номер итерации в цикле, [math]\displaystyle{ i }[/math] - номер параллельной ветви.

Операция 2: [math]\displaystyle{ w_{ij}^m*X_i }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ j }[/math] - номер итерации в цикле, [math]\displaystyle{ i }[/math] - номер параллельной ветви.

На выходе из каждой ветки получаем вектор размера [math]\displaystyle{ 1 }[/math] x [math]\displaystyle{ c }[/math] и матрицу размера [math]\displaystyle{ d }[/math] x [math]\displaystyle{ c }[/math]. Далее совершаем поэлементное сложение векторов и матриц соответственно, а затем делим каждый столбец в матрице на соответствующий элемент в векторе.

Второй ярус состоит их [math]\displaystyle{ M }[/math] параллельных операций 3, 4, 5 также совершаемых в цикле [math]\displaystyle{ c }[/math] раз.

Операция 3: обновление значения [math]\displaystyle{ w_{ij} }[/math] по указанной в разделе 1.2 в пункте 5 формуле.

Операция 4: [math]\displaystyle{ maximum = max(|w_{ij} - w_{ij}^{prev}|, maximum) }[/math].

Операция 5: [math]\displaystyle{ w_{ij}^{prev} = w_{ij} }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ j }[/math] - номер итерации в цикле, [math]\displaystyle{ i }[/math] - номер параллельной ветви.

На выходе из каждой ветки получаем число [math]\displaystyle{ maximum }[/math]. Далее находим максимальное значение из полученных величин для каждой ветки. Затем проверяем условие останова алгоритма.

Ресурс параллелизма алгоритма

Параллельная сложность алгоритма: [math]\displaystyle{ M*c^2*i }[/math]. Такая сложность получается за счет распараллеливания на каждом ярусе [math]\displaystyle{ M }[/math] операций. Иерархическая структура параллелизма подробно описана в п.1.7.

В алгоритме не возникает скошенного параллелизма.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные алгоритма: набор векторов [math]\displaystyle{ x_i }[/math] размерности [math]\displaystyle{ d }[/math], где [math]\displaystyle{ i = 1,...,M }[/math]; [math]\displaystyle{ M }[/math] - количество векторов.
Объем входных данных: [math]\displaystyle{ M*d }[/math] , [количество наблюдений * размерность].
Выходные данные алгоритма: матрица вероятностей принадлежности векторов кластерам [math]\displaystyle{ M }[/math] на [math]\displaystyle{ c }[/math].
Объем выходных данных: [math]\displaystyle{ M*c }[/math] , [количество наблюдений * количество кластеров].

Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной формы алгоритма: [math]\displaystyle{ M }[/math]
Вычислительная мощность: [math]\displaystyle{ {dc^2i} \over {c+d} }[/math].
Устойчивость: алгоритм не является устойчивым, поэтому существует много исследований о том, как первоначально выбрать параметры кластеризации.
Сбалансированность: в данном алгоритме операция умножения доминирует над операцией сложения. Операции между параллельными ветвями сбалансированны.
Детерминированность: алгоритм не является детерминированным, так как матрица нечеткого разбиение генерируется произвольно.
Степень исхода вершины информационного графа ( для одной интерации): 2 (3 - с учетом, если выходные данные пошли на следующую итерацию).

Программная реализация алгоритма

Особенности реализации последовательного алгоритма

Локальность данных и вычислений

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Выводы для классов архитектур

Существующие реализации алгоритма

Реализация алгоритма на POSTGRESQL: http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2012/pdf/v13r207.pdf
Библиотека для MATLAB: http://www.mathworks.com/help/fuzzy/fcm.html (распространяется на коммерческой основе)

Литература

[1] | J. C. Dunn. A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and Its Use in Detecting Compact Well-Separated Clusters. Journal of Cybernetics, volume 3,1973 - Issue 3, pp 32-57

[2] | Нейский И.М. Классификация и сравнение методов кластеризации.// Интеллектуальные технологии и системы. Сборник учебно-методических работ и статей аспирантов и студентов. – М.: НОК «CLAIM», 2006. – Выпуск 8. – С. 130-142.

[1]

[2]

Участник:Gkhazeeva/Нечеткий алгоритм C средних

Содержание

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Математическое описание алгоритма ^[2]

Вычислительное ядро алгоритма

Макроструктура алгоритма

Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательная сложность алгоритма

Информационный граф

Ресурс параллелизма алгоритма

Входные и выходные данные алгоритма

Свойства алгоритма

Программная реализация алгоритма

Особенности реализации последовательного алгоритма

Локальность данных и вычислений

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Выводы для классов архитектур

Существующие реализации алгоритма

Литература

Навигация

Участник:Gkhazeeva/Нечеткий алгоритм C средних

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Математическое описание алгоритма [2]

Вычислительное ядро алгоритма

Макроструктура алгоритма

Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательная сложность алгоритма

Информационный граф

Ресурс параллелизма алгоритма

Входные и выходные данные алгоритма

Свойства алгоритма

Программная реализация алгоритма

Особенности реализации последовательного алгоритма

Локальность данных и вычислений

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Выводы для классов архитектур

Существующие реализации алгоритма

Литература

Навигация

Поиск

Математическое описание алгоритма ^[2]