QR-алгоритм
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов для матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] заключается в поиске таких соответствующих друг другу чисел [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и ненулевых векторов [math]\displaystyle{ x }[/math], которые удовлетворяют уравнению [math]\displaystyle{ Ax=\lambda x }[/math], при этом числа [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] называются собственными значениями, а вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] - собственными векторами[1].
Данная задача является одной из самых сложных задач линейной алгебры[2]. Собственные вектора и собственные значения применяются в различных областях науки: в аналитической геометрии, при решении систем интегральных уравнений, в математической физике. Однако не существует прямых методов вычисления собственных значений для матриц общего вида, поэтому данная задача на практике решается численными итерационными методами. Одним из них является QR-алгоритм.
Общее описание метода
QR-алгоритм — это численный метод в линейной алгебре, предназначенный для решения полной проблемы собственных значений, то есть отыскания всех собственных чисел матрицы. При этом алгоритм позволяет найти и собственные вектора матрицы. Он был разработан в конце 1950-х годов независимо В. Н. Кублановской(Россия)[3] и Дж. Фрэнсисом(Англия). Открытию QR-алгоритма предшествовал LR-алгоритм, который использовал LU-разложение вместо QR-разложения. В настоящее время LR-алгоритм используется очень редко ввиду своей меньшей эффективности, однако он был важным шагом на пути к открытию QR-алгоритма[4].
Суть базового QR-алгоритма заключается в итерационном приведении матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] к некоторой унитарно подобной ей матрице [math]\displaystyle{ A_N }[/math] при помощи QR-разложения. Матрица [math]\displaystyle{ A_N }[/math] является правой верхней треугольной матрицей, а значит ее диагональ содержит собственные значения. В силу подобия матриц [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ A_N }[/math] их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] сводится к задаче выведения матрицы [math]\displaystyle{ A_N }[/math] и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей.
Литература
- ↑ В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
- ↑ Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
- ↑ О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1. № 4. С. 555–570
- ↑ Wikipedia: QR-algorithm