Участник:Sergey.protserov/Метод Якоби решения СЛАУ
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Метод Якоби -- одношаговый стационарный итерационный метод решения СЛАУ вида [math]\displaystyle{ Ay = f }[/math], где [math]\displaystyle{ A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mm} \\ \end{array} \right) }[/math], [math]\displaystyle{ f = \left( \begin{array}{c} f_{1} \\ \vdots \\ f_{m} \\ \end{array} \right) }[/math], [math]\displaystyle{ y = \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{m} \\ \end{array} \right) }[/math], [math]\displaystyle{ \det A \ne 0 }[/math].
Каноническая форма одношагового стационарного итерационного метода имеет вид: [math]\displaystyle{ B\frac{y^{n+1} - y^{n}}{\tau} + Ay^{n} = f, \quad n = 0,\,1,\,\dots\,, }[/math]
где [math]\displaystyle{ B }[/math] — невырожденная матрица [math]\displaystyle{ m \times m }[/math], [math]\displaystyle{ \tau \in \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ y^{0} }[/math] — заданное начальное приближение. Решение исходной СЛАУ находится приближённо посредством последовательных итераций. На [math]\displaystyle{ n }[/math]-ом шаге находится [math]\displaystyle{ y^{n+1} }[/math] — очередное приближение для искомого решения [math]\displaystyle{ y }[/math].
В методе Якоби [math]\displaystyle{ \tau = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ B = D }[/math], где [math]\displaystyle{ D }[/math] — диагональная матрица, элементы которой совпадают с элементами, стоящими на главной диагонали матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
Достаточным условием сходимости метода является свойство строгого диагонального преобладания у матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
Математическое описание алгоритма
В обозначениях предыдущего пункта выражение для [math]\displaystyle{ y^{n+1} }[/math] через [math]\displaystyle{ y^{n} }[/math]: [math]\displaystyle{ y^{n+1} = D^{-1}\left(D-A\right)y^{n} + D^{-1}f }[/math].
В поэлементной записи:
[math]\displaystyle{ y^{n+1}_{i} = \frac{1}{a_{ii}}\left(f_{i} - \sum_{j=1,\,j \ne i}^{m}a_{ij}y^{n}_{j}\right),\quad i = 1,\,\dots,\,m }[/math].
В качестве условия окончания итерационного процесса можно использовать условие [math]\displaystyle{ \left\lVert y^{n+1} - y^{n}\right\rVert \le \varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — заданная точность. Для оценки ошибки можно использовать невязку [math]\displaystyle{ Ay^{n+1} - f }[/math].