Быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ)

Авторы: Чачба А.Н., Костоев Р.С.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(N \log N) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ N }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ N }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(\log N) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(N) }[/math]

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Преобразование Фурье - взаимно однозначное отображение одной функции вещественной, называемой таргетным сигналом, с другой функцией вещественной переменной, называемой образом Фурье или спектром исходной функции по формуле:

[math]\displaystyle{ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx }[/math]

Дискретное преобразование Фурье, в свою очередь, если аналог непрерывного преобразования Фурье, но для дискретного сигнала содержащего [math]\displaystyle{ N }[/math] отсчетов. Широко применяет в цифровой обработке сигналов, теории вероятностей, криптографии и акустике. Преобразование Фурье обратимо, причем обратное преобразование имеет практически ту же форму, что и прямое. Преобразование Фурье имеет сложность [math]\displaystyle{ O(N^2) }[/math], но существует быстрый вариант преобразование Фурье со сложностью [math]\displaystyle{ O(N\log{N}) }[/math].

Математическое описание алгоритма

Пусть исходный сигнал имеет значения [math]\displaystyle{ x_n,\quad n = 0,\dots,N-1 }[/math], тогда дискретное прямое преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:

[math]\displaystyle{ X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-\frac{2\pi i}{N}kn},\quad k = 0, \dots, N-1 }[/math]

Обозначим [math]\displaystyle{ \varepsilon_{N} = e^{-\frac{2\pi i}{N}} }[/math], тогда ДПФ можно перезаписать в матричной форме:

[math]\displaystyle{ \bar X = A\bar x }[/math]

где матрица [math]\displaystyle{ A = \{e^{-\frac{2\pi i}{N}(i - 1)(j - 1)}\}_{i,j=1}^{N} }[/math]