Быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ)

Авторы: Чачба А.Н., Костоев Р.С.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(N \log N) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ N }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ N }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(\log N) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(N) }[/math]

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Преобразование Фурье - взаимно однозначное отображение одной функции вещественной, называемой таргетным сигналом, с другой функцией вещественной переменной, называемой образом Фурье или спектром исходной функции по формуле:

[math]\displaystyle{ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx }[/math]

Дискретное преобразование Фурье, в свою очередь, если аналог непрерывного преобразования Фурье, но для дискретного сигнала содержащего [math]\displaystyle{ N }[/math] отсчетов. Широко применяет в цифровой обработке сигналов, теории вероятностей, криптографии и акустике. Преобразование Фурье обратимо, причем обратное преобразование имеет практически ту же форму, что и прямое. Преобразование Фурье имеет сложность [math]\displaystyle{ O(N^2) }[/math], но существует быстрый вариант преобразование Фурье со сложностью [math]\displaystyle{ O(N\log{N}) }[/math].

Математическое описание алгоритма

Пусть исходный сигнал имеет значения [math]\displaystyle{ x_n,\quad n = 0,\dots,N-1 }[/math], тогда дискретное прямое преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:

[math]\displaystyle{ X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-\frac{2\pi i}{N}kn},\quad k = 0, \dots, N-1 }[/math]

Обозначим [math]\displaystyle{ \varepsilon_{N} = e^{-\frac{2\pi i}{N}} }[/math], тогда ДПФ можно перезаписать в матричной форме:

[math]\displaystyle{ \bar X = A\bar x }[/math]

где матрица [math]\displaystyle{ A = \{e^{-\frac{2\pi i}{N}(i - 1)(j - 1)}\}_{i,j=1}^{N} }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Пусть, для простоты [math]\displaystyle{ N = km }[/math], тогда рекурсивная реализация преобразования Фурье, за счет [math]\displaystyle{ O(N{k}) }[/math] уровней рекурсии, имеет суммарную сложность [math]\displaystyle{ O(Nk + Nm + km) = O(N(k + m)) }[/math].

В случае, например [math]\displaystyle{ N = 2^n }[/math] сложность БПФ составляет [math]\displaystyle{ O(N\log{N}) }[/math].

В общем же случае, когда [math]\displaystyle{ N = \prod_{i=1}^np_i }[/math] сложность БПФ составляет [math]\displaystyle{ O(N(\sum_{i=1}^np_i)) }[/math].

Схема реализации последовательного алгоритма

Рекурсивный метод для случая [math]\displaystyle{ N = 2^k }[/math], без оптимизации на C++:

#include <vector>
#include <complex>

using namespace std;

typedef complex<double> cd;
typedef vector<cd> vcd;

vcd fft(const vcd &as) { 
  int n = as.size();
  if (n == 1) return vcd(1, as[0]);

  vcd w(n); // Calculate roots
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    double alpha = 2 * M_PI * i / n;
    w[i] = cd(cos(alpha), sin(alpha));
  }

  vcd A(n / 2), B(n / 2);
  for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
    A[i] = as[i * 2];
    B[i] = as[i * 2 + 1];
  }
  vcd Av = fft(A);
  vcd Bv = fft(B);
  vcd res(n);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    res[i] =   Av[i % (n / 2)] +
        w[i] * Bv[i % (n / 2)];
  return res;
}

Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф преобразования Кули-Тьюки для [math]\displaystyle{ N = km = 25, k = 5, m = 5 }[/math]. Желтые вершины - умножение на поворотные множители.