Участник:Юлия Жосан/Разбиение вершин графа на равные по мощности блоки методом рекурсивной координатной бисекции

Автор: Юлия Жосан

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

---

Декомпозиция графа - это задача его разбиения на непересекающиеся подмножества доменов, для их последующей параллельной обработки группой процессоров. Основная сложность использования параллельных методов состоит в поиске оптимальной декомпозиции, которая дает сбалансированное распределение доменов по процессорам. Выделяют два основных свойства оптимальной декомпозиции, которые должны выполняться одновременно:

• минимизация максимального веса исходящих из домена ребер
• равномерное распределение по доменам суммарного веса узлов/ребер

Покоординатная декомпозиция основана на рекурсивном делении пополам сети по координатной оси, вдоль которой область наиболее протяженная, соотношение размеров полученных частей зависит от требуемого количества доменов в каждой из них. Этот метод применяется для обработки сеток больших размеров (объем описания сетки превышает объем оперативной памяти одного процессорного узла).

Основные этапы работы алгоритма:

1. Выбор направления, вдоль которого будут упорядочиваться вершины домена
2. Упорядочивание вершин вдоль выбранного в п.1 направления
3. Вычисление номера m первой вершины второго домена
4. Формирование двух новых доменов, первый из которых включает вершины от первой до m-1 входящего домена, а второй включает вершины с m до последней вершины входящего домена
5. Запуск алгоритма для полученных в п.4 доменов

Выделяют следующие достоинства данного алгоритма:

• высокая скорость работы
• низкий уровень дисбаланса распределения вершин между доменами
• экономичность по памяти

Математическое описание алгоритма

---

Пусть на вход алгоритму подаются следующие данные:

• неориентированный граф [math]\displaystyle{ G=(V, E) }[/math], где [math]\displaystyle{ V }[/math] - множество вершин, [math]\displaystyle{ E }[/math] - множество ребер
• Требуемое число доменов [math]\displaystyle{ p }[/math]

На выходе алгоритма требуется получить множество доменов [math]\displaystyle{ \{S_{p}\} }[/math].Это множество [math]\displaystyle{ p }[/math] непересекающихся подмножеств [math]\displaystyle{ \{V_{i}\} }[/math]:
[math]\displaystyle{ V=\bigcup\limits_{i=1}^{p} V_{i} }[/math], [math]\displaystyle{ V_{i}\cap V_{j}=\emptyset }[/math] для [math]\displaystyle{ i\not=j }[/math] при котором минимизируются следующие функционалы:

• суммарный вес вершин в домене: [math]\displaystyle{ \vert S_{p}\vert=\sum\limits_{i=1}^{p} \vert v_{i} \vert\rightarrow min }[/math]
• суммарный вес разрезанных ребер:[math]\displaystyle{ \sum\limits_{ij} \vert e_{ij} \vert\rightarrow min , v_{i}\in S_{l}, v_{j}\in S_{r}, S_{l}\cap S_{r}=\emptyset }[/math]

Опишем подробнее схему работу рекурсивного алгоритма:

1. Выбор оси, вдоль которой будет осуществляться сортировка. Для этого вычисляется величина [math]\displaystyle{ l_{k}=max\left( v_{i}^{k}\right)-min\left(v_{i}^{k}\right) , v_{i}^{k}\in V , k }[/math] - координатная ось, и выбирается ее максимальное значение.
2. Сортировка множества вершин [math]\displaystyle{ V }[/math] по выбранной в п.1 координате по возрастанию номеров коодинат вершин
3. Вычисляется номер вершины, по которой пойдет разбиение множества: [math]\displaystyle{ m=(iend-istart+1)*\frac{\frac{p+1}{2}}{p} }[/math], где [math]\displaystyle{ iend, istart }[/math] - номер первой вершины в множестве и номер последней вершины в множестве соответственно
4. Множество вершин делится на две части: [math]\displaystyle{ V_{l}=|v_{l}|, l=istart..m ,V_{r}=|v_{r}|, r=m+1..iend }[/math]
5. Алгоритм запускается для [math]\displaystyle{ V_{l} }[/math] и [math]\displaystyle{ V_{r} }[/math]
6. Алгоритм останавливается на итерации, для которой [math]\displaystyle{ |V_{l}|=1 , |V_{r}|=1 }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

---

Вычислительное ядро алгоритма составляют:

• сортировка массива координат вершин [math]\displaystyle{ V }[/math] (могут применяться различные виды сортировок)
• вычисление величины [math]\displaystyle{ l_{k} }[/math]
• вычисление величины [math]\displaystyle{ m }[/math]

Макроструктура алгоритма

---

Основной составляющей метода является повторяющиеся сортировки множества координат вершин [math]\displaystyle{ V }[/math] на каждом рекурсивном шаге. Всего таких шагов [math]\displaystyle{ p-1 }[/math].

---

---

---

---

---

---

---

Литература

---

[1] Якобовский М.В. Введение в параллельные методы решения задач: Учебное пособие / Предисл.: В. А. Садовничий. – М.: Издательство Московского университета, 2012. – 328 с., илл. – (Серия «Суперкомпьютерное образование»), ISBN 978-5-211-06382-2 URL: http://lira.imamod.ru/ITTPMOPS/ [2] Головченко Е.Н. Декомпозиция расчетных сеток для решения задач механики сплошных сред на высокопроиводительных вычислительных системах. Дисс ... канд. ф.-м.наук. Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, г. Москва URL: http://keldysh.ru/council/3/D00202403/golovchenko_diss.pdf