Участница:Ekaterina.ivkina/Метод Якоби вычисления сингулярных чисел и векторов

Метод Якоби вычисления сингулярных чисел и векторов
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Сингулярное разложение было первоначально разработано в дифференциальной геометрии при изучении свойств билинейных форм учеными Эудженио Бельтрами и Камилем Жорданом независимо в 1873 и 1874 годах соответственно. Первое доказательство сингулярного разложения для прямоугольных и комплексных матриц было осуществлено математиками Карлом Эскартом и Гэйлом Янгом в 1936 году.

Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений. Используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы и приближать матрицы данного ранга. Так как вычисления ранга матрицы — задача, которая встречается очень часто, то сингулярное разложение является довольно популярным методом.

Сингулярным разложением матрицы [math]\displaystyle{ G (n \times n) }[/math] называется разложение вида [math]\displaystyle{ G = U \Sigma V^T }[/math] , где [math]\displaystyle{ U, V }[/math] - унитарные матрицы [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], а [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] - диагональная матрица [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] с вещественными положительными числами на главной диагонали. Столбцы матриц [math]\displaystyle{ U, V }[/math] называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения на диагонали матрицы [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] - сингулярными значениями матрицы [math]\displaystyle{ G }[/math].

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: