Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Symbol wait.svgЭта работа ждет рассмотрения преподавателем
Дата последней правки страницы: 16.10.2016
Авторы этой статьи считают, что задание выполнено.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем[1] в 1986 году как обобщение метода MINRES[2] на случай систем с несимметричными матрицами.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

  • система линейных алгебраических уравнений вида [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A }[/math] — невырожденная матрица размера [math]\displaystyle{ n }[/math]-на-[math]\displaystyle{ n }[/math];
  • [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] - некоторое начальное приближение.

Вычисляемые данные:

  • [math]\displaystyle{ x_k }[/math] - приближённое решение исходной системы.

Подпространство Крылова размерности [math]\displaystyle{ k, k \leq n }[/math] для решения исходной системы:

[math]\displaystyle{ K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \}. \, }[/math]

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] вектором [math]\displaystyle{ x_k \in K_k }[/math], минимизирующим Евклидову норму невязки [math]\displaystyle{ r_k = Ax_k-b }[/math].

Для решения исходной системы GMRES, используя [math]\displaystyle{ l_2 }[/math]-ортонормированный базис пространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math], выполняет поиск приближённого решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math] в виде:

[math]\displaystyle{ x_k = x_0 + z_k }[/math],

где [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] - некоторое начальное приближение, [math]\displaystyle{ z_k \in K_k }[/math] - поправка решения.

Для построения ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] метод использует процесс Арнольди. При введении для базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] матричного обозначения [math]\displaystyle{ V_k }[/math] можно записать:

[math]\displaystyle{ z_k = V_ky_k }[/math],

где [math]\displaystyle{ y_k \in \mathbb{R}^k }[/math] - вектор коэффициентов.

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

  1. найти ортонормированный базис [math]\displaystyle{ V_k }[/math] подпространства [math]\displaystyle{ K_k }[/math] с помощью ортогонализации Арнольди;
  2. найти [math]\displaystyle{ y_k }[/math], минимизирующий [math]\displaystyle{ \|r_k\|_2 }[/math];
  3. вычислить [math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math];
  4. вычислить [math]\displaystyle{ r_k }[/math] и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить для k + 1.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

  • Вычисление ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math];
  • Формирование приближенного решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math].

На каждой итерации для вычисления ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math] метод использует процесс Арнольди:

[math]\displaystyle{ v_{k+1} = Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{k} }[/math], где [math]\displaystyle{ h_{ik} := (Av_k, v_i) }[/math].

Этот процесс требует [math]\displaystyle{ nk(k + 1) + kNZ }[/math] мультипликативных операций, где NZ - количество ненулевых элементов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Для нахождения приближённого решения метод использует формулу:

[math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math].

Вычисление этой формулы требует [math]\displaystyle{ nk }[/math] мультипликативных операций.

Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

  • Умножение матрицы на вектор;
  • Вычисление скалярного произведения векторов;
  • Вычисление Евклидовой нормы вектора;
  • Умножение вектора на скаляр;
  • Деление вектора на скаляр;
  • Задача минимизации функционала невязки.

Схема реализации последовательного алгоритма

Для решения исходной системы методом GMRES можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Подготовка перед итерационным процессом:

  1. Выбрать начальное приближение [math]\displaystyle{ x_0 }[/math];
  2. Посчитать невязку [math]\displaystyle{ r_0 = b - Ax_0 }[/math];
  3. Вычислить [math]\displaystyle{ v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} }[/math].

k-ая итерация:

  1. [math]\displaystyle{ h_{ik} = (Av_k, v_i), \quad i=1,\ldots,k }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ \hat{v}_{k+1} = Av_k - \sum_{i=1}^k h_{ik}v_{i} }[/math];
  3. [math]\displaystyle{ h_{k+1k} = \|\hat{v}_{k+1}\|_2 }[/math];
  4. [math]\displaystyle{ v_{k+1} = \frac{\hat{v}_{k+1}}{h_{k+1k}} }[/math];
  5. [math]\displaystyle{ x_k = x_0 + V_ky_k }[/math], где [math]\displaystyle{ y_k }[/math] минимизирует [math]\displaystyle{ \|r_0 - AV_ky_k\|_2 }[/math].

Последовательная сложность алгоритма

Если пренебречь сложностью вычисления [math]\displaystyle{ y_k }[/math], то общую сложность алгоритма GMRES можно разделить на две части:

  1. Сложность вычисления ортонормированного базиса [math]\displaystyle{ K_k }[/math].
  2. Сложность вычисления приближённого решения [math]\displaystyle{ x_k }[/math].

Литература

<references \>

  1. ↑ Y.Saad, M.H. Schultz, GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems, SIAM J. Scientific and Stat. Comp. 7: 856-869 (1986)
  2. ↑ C. C. Paige and M. A. Saunders. Solution of sparse indefinite systems of linear equations, SIAM J. Numerical Analysis 12, 617-629 (1975)
Источник — https://xn--80aecvaldz.xn--80ahdrnmvk.xn--p1ai/w/ru/index.php?title=Участник:Alexander34396/Обобщенный_метод_минимальных_невязок&oldid=12713