Участник:Шишков Илья Сергеевич/Алгоритм HCM (Hard C – Means)

Алгоритм HCM (Hard C – Means)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(ncK) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ O(nK) }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ O(c(K+n)) }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(1) }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ O(cK) }[/math]

Основные авторы описания: Илья Шишков (1.1-1.4, 2.7), Гульгайша Темербекова (1.5-1.10, 3)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм HCM (Строгий алгоритм С-средних) был предложен группой исследователей(Jang, Sun and Mizutani) в 1997 и относится к классу алгоритмов со строгой кластеризаций.

Кластеризацией называется подход к описанию данных, в котором наиболее схожие данные объединяются в группы(кластеры). Кластеризация является распространенным подходом для анализа данных и используется во многих сферах научной деятельности, таких как машинное обучение, анализ данных, распознавание шаблонов, анализ изображений и биоинформатика.

Кластеризация представляет собой комбинирование рассматриваемых объектов так, чтобы каждая группа объектов обладала схожим свойством. В общем случае кластеризация характеризуются следующими критериями: - Каждая группа или кластер однородны; объекты, принадлежащие одной группе имеют схожие свойства; - Каждая группа или кластер отличаются от других кластеров т.е. объекты, принадлежащие одному кластеру, должны отличатся от объектов других кластеров

В строгой кластеризации наборы данных разделяются на кластеры однозначно. Каждый набор данных может относится только к одному кластеру. Строгой кластеризации характеризуется следующими свойствами: - Используется для классификации данных в однозначные наборы - Каждый набор данных принадлежит только одному кластеру - Кластеры также называют разделами - Результатом работы кластерного алгоритма является матрица соответствия которая показывает, к какому кластеру принадлежит каждый набор данных

В этом кластерном алгоритме не допускается частичное отношение к кластеру (как в FCM). HCM предназначен для классификации входных наборов в строгом смысле. В строгом алгоритме С-средних данные классифицируются по кластерам однозначно, т.е. при определенном заранее критерии, каждый элемент данных может принадлежать одному и только одному кластеру.

Алгоритм HCM является итеративным и состоит из нескольких шагов:

1.Инициализация:

Случайным образом определяются C векторов - центров кластеров

2. Расчет рядовой матрицы:

В процессе расчета рядовой матрицы каждый вектор сравнивается с ближайшим кластерным центром

3. Расчет оценочной функции:

Проверка условия, при котором алгоритм завершает работу и вывод результата в этом случае

4. Переопределение кластерных центров

Пункты 2-4 выполняются до тех пор, пока в пункте 3 проверка не станет успешной.

Математическое описание алгоритма

Обозначения

[math]\displaystyle{ U }[/math] - наборы данных

[math]\displaystyle{ u_{i} }[/math] - i-ый набор из [math]\displaystyle{ U }[/math]

[math]\displaystyle{ u }[/math] - любой набор из [math]\displaystyle{ U }[/math]

[math]\displaystyle{ K }[/math] - количество наборов в [math]\displaystyle{ U }[/math]

[math]\displaystyle{ c_{j} }[/math] - j-ый кластер

[math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров

[math]\displaystyle{ c_{j} }[/math] - j-ый кластерный центр

[math]\displaystyle{ c^*_{j} }[/math] - j-ый кластерный центр после обновления

Выходные данные: [math]\displaystyle{ c^*_{1}, c^*_{2}, ... c^*_{c}, M }[/math]

Объектная функция:

[math]\displaystyle{ J=\sum_{j = 1}^{c} \sum_{u_{i} \in C_{j}}^{} \|u_{i}-c_{j}\|^2, j \in 1,2, ... c, i={1,2, ...K} }[/math]

Шаг 1

Из входного набора [math]\displaystyle{ u_{1},u_{2}, ... u_{n} }[/math] выбираются [math]\displaystyle{ c }[/math] начальных кластерных центра [math]\displaystyle{ c_{1},c_{2},...,c_{c} }[/math]либо случайным образом, либо с использованием заранее определенного алгоритма

Шаг 2

Рассчитывается рядовая матрица [math]\displaystyle{ M=\|m_{ik}\| }[/math] каждый элемент которой вычисляется по следующей формуле:

[math]\displaystyle{ m_{ik} = \begin{cases} 1, & \|u_k-c_i\|^2 \leqslant \|u_k-c_j\|^2 \;\; \text{for all } i \neq j; \;\; (i,j=1,2,\ldots,c; \; k = 1,2,\ldots,K)\\ 0, & \text{other}. \end{cases} }[/math]

Шаг 3

Рассчитывается объектная функция J. На этом этапе может быть инициировано завершение алгоритма в случае если значение объектной функции незначительно изменилось относительно предыдущей итерации или достигло ожидаемого значения.

Шаг 4

Рассчитываются новые кластерные центры по следующей формуле:

[math]\displaystyle{ c^*_{j} = \frac{1}{|C_{j}|} \sum_{u_{i} \in C_{j}}^{} c_{i}, j=1,2,3..,c }[/math]

где [math]\displaystyle{ |C_{j}| }[/math] - число элементов, принадлежащих кластеру [math]\displaystyle{ C_{j} }[/math]

Шаг 5

Если алгоритм не завершил свою работу на шаге 3 то переходим к шагу 2.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром данного алгоритма является вычисление на каждой итерации алгоритма квадратов норм между кластерными центрами и векторами из входного набор согласно формуле [math]\displaystyle{ \|u_k-c_i\|^2 }[/math]. На каждой итерации алгоритма происходит [math]\displaystyle{ cK }[/math] таких вычислений.

Макроструктура алгоритма

Основной операцией алгоритма является операция нахождения квадратов расстояний между исходными векторами и кластерными центрами.

[math]\displaystyle{ \|u_k-c_i\|^2 }[/math]

При вычислении объектной функции производится суммирование полученных расстояний:

[math]\displaystyle{ J=\sum_{j = 1}^{c} \sum_{u_{i} \in C_{j}}^{} \|u_{i}-c_{j}\|^2, j \in 1,2, ... c, i={1,2, ...K} }[/math]

При перерасчете кластерных центров происходит суммирование векторов:

[math]\displaystyle{ c^*_{j} = \frac{1}{|C_{j}|} \sum_{u_{i} \in C_{j}}^{} u_{i}, j=1,2,3..,c }[/math]

Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая :

1. Инициализация кластерных центров [math]\displaystyle{ c_i \, (i=1,2,\ldots,c) }[/math]. Это можно сделать выбрав случайным образом [math]\displaystyle{ c }[/math] – векторов из входного набора.

2. Вычисление рядовой матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math]:

[math]\displaystyle{ m_{ik} = \begin{cases} 1, & \|u_k-c_i\|^2 \leqslant \|u_k-c_j\|^2 \;\; \text{for all } i \neq j; \;\; (i,j=1,2,\ldots,c; \; k = 1,2,\ldots,K) \\ 0, & \text{other}. \end{cases} }[/math]

где К – количество элементов во входном наборе данных.

Матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] обладает следующими свойствами:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^c m_{ij} = 1, \;\; \sum\limits_{j=1}^K m_{ij} = K. }[/math]

3. Расчёт объектной функции:

[math]\displaystyle{ J = \sum\limits_{i=1}^c J_i = \sum\limits_{i=1}^c \left( \sum\limits_{k:\, u_k \in C_i} \|u_k -c_i \|^2 \right) . }[/math]

На этом шаге происходит остановка и выход из цикла, если полученное значение ниже пороговой величины или полученное значение не сильно отличается от значений, полученных на предыдущих циклах.

4. Пересчёт кластерных центров выполняется в соответствии со следующим уравнением:

[math]\displaystyle{ c_i = \frac{1}{|C_i|} \sum\limits_{k:\, u_k \in C_i} u_k, }[/math]

где под [math]\displaystyle{ |C_i| }[/math] подразумевается количество элементов в [math]\displaystyle{ i }[/math]-ом кластере.

5. на шаг 2.

Последовательная сложность алгоритма

Каждая операция вычисления квадрата нормы разности векторов выполненяет [math]\displaystyle{ n }[/math] вычитаний, [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] сложений и [math]\displaystyle{ n }[/math] операций возведения в квадрат (умножений).

Для каждой итерации алгоритма требуется:

• [math]\displaystyle{ ncK }[/math] умножений,
• [math]\displaystyle{ ncK }[/math] вычитаний,
• [math]\displaystyle{ K(cn+1) }[/math] сложений,
• [math]\displaystyle{ K(c-1) }[/math] сравнений.

Умножения, сложения (вычитания), сравнения составляют основную часть алгоритма.

Итоговая сложность последовательной реализации алгоритма [math]\displaystyle{ O(ncK) }[/math] . Обычно [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] значительно меньше, чем [math]\displaystyle{ K }[/math].

Информационный граф

опишем граф как аналитически, так и в виде рисунка.

Граф алгоритма состоит из пяти групп вершин.

Первая группа вершин [math]\displaystyle{ c_1,...,c_c }[/math] - прямое вычисление расстояния до кластерных центров, то есть вычисление расстояний от заданного элемента [math]\displaystyle{ u_i }[/math] до каждого из кластерных центров.

Вторая группа вершин min - ей соответствует вычисление минимального расстояния до кластерных центров,передача найденного минимального расстояния и соответствующего ему индекса кластера.

Третья группа вершин M - ей соответствует операция записи единички в столбец матрицы.

Четвертая группа вершин J - вычисление объектной функции, происходит проверка условия достижения необходимой точности, если достигли заданной точности то переход в Out, в противном случае Conversion.

Пятая группа вершин Conversion - пересчёт кластерных центров и переход на следующую итерацию.

На рисунке изображена одна итерация алгоритма.

Рисунок 1. in - входные данные, [math]\displaystyle{ c_1,...,c_c }[/math] - вычисление расстояния до кластерных центров и значение [math]\displaystyle{ u_i }[/math] единое для каждой группы [math]\displaystyle{ c_1,...,c_c }[/math], min - нахождение минимального расстояния до кластерных центров, M - запись единички в столбец матрицы, J - расчёт объектной функции, Conversion — пересчёт кластерных центров, out — вывод полученных данных.

Ресурс параллелизма алгоритма

Для одной итерации алгоритма в параллельном варианте требуется [math]\displaystyle{ K }[/math] раз последовательно выполнить для каждого [math]\displaystyle{ u_i }[/math] следующие ярусы:

• [math]\displaystyle{ C }[/math] операций нахождения расстояния от элемента [math]\displaystyle{ u_i }[/math] до каждого из кластерных центров.
• [math]\displaystyle{ C-1 }[/math] сравнений, для нахождения минимального расстояния.
• операция записи единички в столбец матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math].

Основным ресурсом алгоритма является вычисление квадрата нормы для каждого [math]\displaystyle{ u_i }[/math]. Расчёт значения объектной функции [math]\displaystyle{ J }[/math] сложно представить в параллельном варианте, поэтому вычисление объектной функции производится последовательно.Использование параллельной реализации алгоритма приведёт к понижению производительности при небольшой размерности системы и малом объеме выборки. При параллельном варианте необходима пересылка данных, что при малом объеме выборки и небольшой размерности займет больше времени, чем при последовательном варианте. Как легко видеть из информационного графа, высота ЯПФ составляет [math]\displaystyle{ O(1) }[/math], ширина ЯПФ составляет [math]\displaystyle{ O(cK) }[/math], если число итераций меньше объема выборки.

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные:

1. [math]\displaystyle{ \{u_k\}_{k=1}^{K} }[/math] — исходный набор векторов, принадлежащие пространству [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math];
2. [math]\displaystyle{ c }[/math] — количество кластеров;

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ nK }[/math].

Выходные данные:

1. [math]\displaystyle{ M }[/math] — матрица, принадлежащая пространству [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{c \times K} }[/math].
2. [math]\displaystyle{ \{c^*_i\}_{i=1}^{c} }[/math] — набор построенных кластерных центров.

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ c(K+n) }[/math].

Свойства алгоритма

Назначение: кластеризация больших наборов числовых данных.

Достоинства: легкость реализации,вычислительная простота.

Недостатки: задание количества кластеров,отсутствие гарантии в нахождении оптимального решения.

Программная реализация алгоритма

Существующие реализации алгоритма

• Последовательная реализация на С++

• Последовательная реализация на MatLab