Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации)

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. благодаря стараниям венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матрицы, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых внешних собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276].

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы А соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих векторов исходной матрицы А [2, с.381].

Математическое описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math] в точной арифметике:

[math]\displaystyle{ q_1=\frac{b}{\|b\|_2}, \beta_0=0, q_0=0 }[/math]

Литература

[1] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391