Уравнение Пуассона, решение дискретным преобразованием Фурье

Основные авторы описания: В.М.Степаненко, Е.В.Мортиков

Описание свойств и структуры алгоритма

Общее описание алгоритма

Уравнение Пуассона для многомерного пространства имеет вид:

\begin{equation} \label{eq:poisson} \sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}=f,~\mathbf{x}\in D, \end{equation}

где [math]\displaystyle{ N }[/math] - размерность пространства независимых переменных, [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(x_1,...,x_N)^T }[/math] - вектор независимых переменных, [math]\displaystyle{ \phi(\mathbf{x}) }[/math] - неизвестная функция. Уравнение Пуассона дополняется граничными условиями:

\begin{equation} B(\phi)=F,~ \text{на}~ \mathbf{x}\in \Gamma(D), \end{equation}

где [math]\displaystyle{ \Gamma(D) }[/math] - граница области [math]\displaystyle{ D }[/math], a [math]\displaystyle{ B(\phi) }[/math] - оператор, определяющий граничные условия. [math]\displaystyle{ B(\phi)=\phi }[/math] соответствует граничным условиям Дирихле, [math]\displaystyle{ B(\phi)=\partial\phi/\partial \mathbf{n} }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] - внешняя нормаль к границе [math]\displaystyle{ \Gamma(D) }[/math]) - условиям Неймана. Иногда задают также смешанное граничное условие: [math]\displaystyle{ B(\phi)=\phi+\partial\phi/\partial \mathbf{n} }[/math]. Встречаются также так называемые "периодические граничные условия", при которых задача ставится для бесконечной области, но предполагается периодичность решения по подмножеству переменных из [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math].

Аналитическое решение уравнения Пуассона для произвольной правой части и неоднородных граничных условий неизвестно, поэтому оно в большинстве приложений находится численно. Наиболее распространенная дискретизация уравнения имеет вид

\begin{equation} \sum_{i=1}^{N}\frac{\phi_{k_1,...,k_i+1,...,k_N}-2\phi_{k_1,...,k_i,...,k_N}+\phi_{k_1,...,k_i-1,...,k_N}}{\Delta x_i^2}=f_{k_1,...,k_N},~(k_1,...,k_N) \in D_N. \end{equation}

Здесь вторые производные заменены центральными разностями второго порядка точности.