Уравнение Пуассона, решение дискретным преобразованием Фурье

Основные авторы описания: В.М.Степаненко, Е.В.Мортиков

Описание свойств и структуры алгоритма

Общее описание алгоритма

Уравнение Пуассона для многомерного пространства имеет вид:

\begin{equation} \label{eq:poisson} \sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}=f,~\mathbf{x}\in D, \end{equation}

где [math]\displaystyle{ D \in \mathbb{R}^N }[/math] - область определения решения [math]\displaystyle{ \phi(\mathbf{x}) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(x_1,...,x_N)^T }[/math] - вектор независимых переменных. Уравнение Пуассона дополняется граничными условиями:

\begin{equation} B(\phi)=F,~ \text{на}~ \mathbf{x}\in \Gamma(D), \end{equation}

где [math]\displaystyle{ \Gamma(D) }[/math] - граница области [math]\displaystyle{ D }[/math], a [math]\displaystyle{ B(\phi) }[/math] - оператор, определяющий граничные условия. [math]\displaystyle{ B(\phi)=\phi }[/math] соответствует граничным условиям Дирихле, [math]\displaystyle{ B(\phi)=\partial\phi/\partial n }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] - внешняя нормаль к границе [math]\displaystyle{ \Gamma(D) }[/math]) - условиям Неймана. Иногда задают также смешанное граничное условие: [math]\displaystyle{ B(\phi)=С\phi+\partial\phi/\partial n }[/math] ([math]\displaystyle{ C }[/math] - константа). Встречаются также так называемые "периодические граничные условия", при которых задача ставится для бесконечной области, но предполагается периодичность решения по подмножеству переменных из [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math].

Уравнение Пуассона возникает во многих задачах математической физики, например, в электростатике (в этом случае [math]\displaystyle{ \phi }[/math] - потенциал электрической силы) и гидродинамике ([math]\displaystyle{ \phi }[/math] - давление жидкости или газа); при этом [math]\displaystyle{ N=2,3 }[/math] для плоской и объемной задач, соответственно.

Решение уравнения Пуассона для произвольной правой части и неоднородных граничных условий в аналитическом виде не может быть получено, поэтому в большинстве приложений оно находится численно. Наиболее распространенная дискретизация уравнения имеет вид

\begin{equation} \sum_{i=1}^{N}\frac{\phi_{k_1,...,k_i+1,...,k_N}-2\phi_{k_1,...,k_i,...,k_N}+\phi_{k_1,...,k_i-1,...,k_N}}{\Delta x_i^2}=f_{k_1,...,k_N},~(k_1,...,k_N) \in D_N. \end{equation}

Здесь вторые производные заменены центральными разностями второго порядка точности, а решение ищется на дискретном множестве точек [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерного пространства, [math]\displaystyle{ D_N }[/math]. Конечными разностями аппроксимируются при этом также граничные условия.

Математическое описание

В настоящей статье мы рассмотрим конечно-разностную схему для наиболее часто встречающейся задачи решения уравнения Пуассона в трехмерном пространстве:

\begin{equation} \frac{\phi_{i+1,j,k}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i-1,j,k}}{\partial \Delta x^2} + \frac{\phi_{i,j+1,k}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i,j-1,k}}{\partial \Delta y^2} + \frac{\phi_{i,j,k+1}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i,j,k-1}}{\partial \Delta z^2} = f_{i,j,k},~(i,j,k) \in D_h, \end{equation}

где [math]\displaystyle{ D_h=\{1:N_x\}\times\{1:N_y\}\times\{1:N_z\} }[/math] - параллелепипед в сеточной области. В качестве граничных условий для простоты примем т.н. троякопериодические граничные условия

\begin{align} \phi_{1,j,k}=\phi|_{N_x+1,j,k},\\ \phi_{i,1,k}=\phi|_{i,N_y+1,k},\\ \phi_{i,j,1}=\phi|_{i,j,N_z+1}. \end{align}