Участник:AleksLevin/Алгоритм Ланцоша вычисления собственных значений симметричной матрицы для точной арифметики (без переортогонализации)

Основные авторы описания: Левин А.Д. (студент, кафедра вычислительных методов, 604 группа)

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Данный алгоритм появился в 1950 г. и носит имя венгерского физика и математика Корнелия Ланцоша (венг. Lánczos Kornél). Алгоритм Ланцоша относится к итерационным методам вычисления собственных значений для матриц столь больших порядков [math]\displaystyle{ n }[/math], что к ним нельзя применить прямые методы из-за ограничений по времени и памяти.

Сам Ланцош указывал, что его метод предназначен для отыскания нескольких собственных векторов симметричных матриц, хотя к методу сразу было обращено внимание, как к способу приведения всей матрицы к трёхдиагональному виду. Двадцатью годами позже канадский математик Крис Пэж показал, что, несмотря на чувствительность к округлениям, алгоритм Ланцоша - эффективное средство вычисления некоторых [math]\displaystyle{ k }[/math] собственных чисел и соответствующих им собственных векторов [1, c.276]. Обычно число [math]\displaystyle{ k }[/math] берут в два раза больше, чем количество собственных значений матрицы, которые поставлена цель найти, и оно имеет порядок не более [math]\displaystyle{ 10^2 }[/math]

Алгоритм Ланцоша для вычисления собственных значений симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] соединяет в себе метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедуру Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих собственных векторов исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] [2, с.381].

В данной статье рассматривается вариант алгоритма Ланцоша, в котором опущено влияние ошибок округления на вычислительный процесс, хотя на практике этому посвящается отдельное внимание и существуют различные методы решения данной проблемы, такие как частичная или полная переортогонализация. Этим модифицированным методам посвящены отдельные статьи на данном ресурсе.

Математическое описание алгоритма

Для лучшего понимания описания, данного в этом пункте статьи, рекомендуется ознакомиться с параграфом 6.6 Методы Крыловского подпространства [2, с.313]. Здесь же дано краткое описание всех переменных, математических операций и необходимый теоретический минимум.

Алгоритм Ланцоша для вычисления [math]\displaystyle{ k }[/math] собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A=A^T }[/math] в точной арифметике [2, с.381]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} q_1 = & \,\frac{b}{\|b\|_2},\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & j = 1 \; to \; k \\ & z = A\,q_j\\ & \alpha_j = q^T_j z\\ & z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1}\\ & \beta_j = \|z\|_2\\ & If \; (\beta_j == 0) \; then\; stop\; the\; algorithm \\ & \; q_{j+1} = \frac{z}{\beta_j} \\ & compute\; eigenvalues\; and \;eigenvectors\;of \;matrix \;\;T_j= Q^T_j A Q\;\;and\;estimate \;the\; errors\\ end \; & for \end{align} }[/math]

В продемонстрированном выше алгоритме [math]\displaystyle{ b }[/math] - заданный вещественный вектор. Также полагается известным алгоритм вычисления произведения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на вектор [math]\displaystyle{ x }[/math]. Введём матрицу Крылова, определяемую следующим соотношением: [math]\displaystyle{ K_j = [b,Ab,A^2b,...,A^{j-1}b] }[/math].

Далее, на практике, матрица [math]\displaystyle{ K }[/math] заменяется матрицей [math]\displaystyle{ Q }[/math], такой, что при любом числе [math]\displaystyle{ k }[/math] линейные оболочки первых [math]\displaystyle{ k }[/math] столбцов в [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] являются одним и тем же подпространством [2, c.315]. Тогда матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math], в отличие от матрицы [math]\displaystyle{ K }[/math], хорошо обусловлена и легко обратима. В результате получаем матрицу [math]\displaystyle{ Q_j = [q_1, q_2, \dots, q_j] }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n\times j }[/math], столбцы которой ортогональны, являются базисом подпространства Крылова и называются векторами Ланцоша.

В алгоритме Ланцоша вычислению подлежит столько первых столбцов в матрице [math]\displaystyle{ Q_j }[/math], сколько необходимо для получения требуемого приближения к решению [math]\displaystyle{ A\,x\,=b\,\,(A\,x=\lambda \, x) }[/math].

Получение нулевого [math]\displaystyle{ \beta_j }[/math] в итерационном процессе - событие, желательное в том смысле, что оно свидетельствует о том, что найдено некоторое подпространство, являющееся в точности инвариантным, а все собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math] являются собственными значениями матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. На практике же нулевое и близкие к нулю значения получаются редко [3, стр. 429].

Затем на каждом шаге цикла формируется симметричная трёхдиагональная матрица [math]\displaystyle{ T_j = Q^T_j A Q }[/math], к которой применяется процесс Рэлея-Ритца для поиска её собственных значений (на практике для поиска этих собственных значений можно использовать любой из специальных методов, изложенных в [3, [math]\displaystyle{ \S }[/math] 8.4]). Эти собственные значения, они же числа Ритца, и полагаются приближёнными собственными значениями исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Если требуется вычислить собственные векторы, то необходимо хранить вычисляемые векторы Ланцоша. Если работа при этом производится только с оперативной памятью, то при большом порядке исходной матрицы (а именно для таких матриц и предназначен метод Ланцоша) число шагов [math]\displaystyle{ j }[/math], которые могут быть выполнены до того момента, как оперативная память будет исчерпана, будет очень незначительно, а следовательно, искомые собственные пары могут не успеть сойтись с требуемой точностью. В этом случае метод Ланцоша можно использовать итерационным образом: после выполнения заданного числа шагов процесс прерывается и, если еще не все требуемые пары Ритца сошлись с требуемой точностью, то формируется новый начальный вектор [math]\displaystyle{ q_1 }[/math], являющийся линейной комбинацией векторов Ритца, еще не сошедшихся с заданной точностью, и процесс начинается заново.

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро рассматриваемого алгоритма (наиболее ресурсно-затратная часть алгоритма) - формирование на каждом шаге цикла промежуточного вектора [math]\displaystyle{ z }[/math], вычисляемого по формуле: [math]\displaystyle{ z = A\,q_j }[/math]

Макроструктура алгоритма

Как уже было упомянуто в данной статье в описании алгоритма, рассматриваемый алгоритм состоит из двух последовательно выполненных алгоритмов: метод Ланцоша для построения последовательности подпространств Крылова и ортонормированных векторов Ланцоша и процедура Рэлея-Ритца получения оптимальных приближений собственных значений и соответствующих собственных векторов исходной матрицы.

В первой части алгоритма, где итерационно строятся Крыловское подпространство и трёхдиагональная матрица [math]\displaystyle{ T_j }[/math], можно выделить следующие макрооперации:

• умножение матрицы на вектор (в свою очередь представляет собой умножение вектора на число и сложение векторов);
• вычисление нормы (скалярное произведение векторов + вычисление квадратного корня);
• скалярное произведение векторов;
• сложение векторов и их умножение на вещественные числа

Умножение матрицы на вектор - весьма дешевая и нетривиальная операция, если предполагать, что исходная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] разреженная. Именно она подлежит оптимизации с использованием техник распараллеливания, поскольку она является вычислительным ядром алгоритма, а весь упомянутый процесс построения матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math] выполняется последовательно.

Вторая часть алгоритма - поиск собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math], в нашем случае с помощью процедуры Рэлея-Ритца, может рассматриваться как отдельная нетривиальная макрооперация.

Схема реализации последовательного алгоритма

С целью полностью не дублировать пункт [math]\displaystyle{ \mathbf{1.2} }[/math] данной статьи, где представлен очень наглядный и доступный для понимания псевдокод алгоритма, постараемся лишь коротко просуммировать и обобщить весь перечень последовательных действий в рассматриваемом алгоритме.

В качестве входных данных имеем: вещественная симметричная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math], известный вещественный вектор [math]\displaystyle{ b }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math] и число [math]\displaystyle{ k\lt n }[/math].

Далее:

• Инициализируем вещественную константу [math]\displaystyle{ \beta_0 }[/math] и векторы [math]\displaystyle{ q_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ q_1 }[/math]
• Итерационно для всех [math]\displaystyle{ j=\overline {1,k} }[/math]:
  • Вычисляем вспомогательный вектор [math]\displaystyle{ z }[/math], используя умножение матрицы на вектор
  • Вычисляем, используя скалярное произведение векторов, значение [math]\displaystyle{ \alpha_j }[/math] - элемент на главной диагонали трёхдиагональной матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math]
  • Вычисляем по формуле новое значение и перезаписываем вектор [math]\displaystyle{ z }[/math]
  • Вычисляем значение [math]\displaystyle{ \beta_j }[/math] - элементы непосредственно над и под главной диагональю той же матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math]
  • Вычисляем с вектора [math]\displaystyle{ z }[/math] очередной столбец матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math], он же вектор Ланцоша : [math]\displaystyle{ \,\,q_{j+1} }[/math]
  • Теперь, когда матрица [math]\displaystyle{ T_j }[/math] сформирована на очередном шаге, находим её собственные значения и вектора, например с помощью процедуры Рэлея-Ритца (о используемых на практике методах нахождения подробнее было сказано ранее в математическом описании алгоритма)
  • Переходим на следующую итерацию: [math]\displaystyle{ j }[/math]++

Последовательная сложность алгоритма

Оценим количество операций и сложность последовательного алгоритма, изложенного в предыдущем пункте.

• Для вычисления вектора [math]\displaystyle{ z }[/math] умножается матрица размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] на вектор длины [math]\displaystyle{ n }[/math], и потребуется [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] операций умножения и [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] операций сложения.
• Умножение векторов [math]\displaystyle{ q^T_j }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math] потребует [math]\displaystyle{ n }[/math] операций умножения и [math]\displaystyle{ n }[/math] операций сложения.
• При вычислении нового значения вектора [math]\displaystyle{ z }[/math] поэлементное сложение двух векторов длины [math]\displaystyle{ n }[/math] требует [math]\displaystyle{ n }[/math] операций сложения.
• Умножение вектора длины [math]\displaystyle{ n }[/math] на вещественное число требует [math]\displaystyle{ n }[/math] операций умножения.
• Нахождение квадратичной нормы вектора [math]\displaystyle{ z }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math] требует [math]\displaystyle{ n }[/math] умножений и [math]\displaystyle{ n }[/math] сложений и ещё 1 операцию извлечения квадратного корня.
• Заключительное нахождение собственных значений и собственных векторов трёхдиагональной матрицы [math]\displaystyle{ T_j }[/math] размера [math]\displaystyle{ j\times j }[/math] с помощью QR-алгоритма потребует в худшем случае [math]\displaystyle{ O(j^3) }[/math] операций.

Посчитаем теперь суммарное количество простейших операций на одной итерации алгоритма (без учёта записей в память):

• [math]\displaystyle{ n^2+5\,n }[/math] операций умножения/деления
• [math]\displaystyle{ n^2+4\,n }[/math] операций сложения/вычитания
• 1 операция извлечения квадратного корня
  

Отдельно после всех итераций при [math]\displaystyle{ j=k }[/math] :

• [math]\displaystyle{ O(k^3) }[/math] операций для поиска собственных значений и собственных векторов трёхдиагональной матрицы [math]\displaystyle{ T_k }[/math]

Итого можно утверждать следующее:

Последовательная сложность одной итерации рассматриваемого алгоритма: [math]\displaystyle{ O(n ^ 2) }[/math]
Суммарная сложность алгоритма ([math]\displaystyle{ k }[/math] итераций): [math]\displaystyle{ O(k\,n ^ 2) + O(k ^ 3) }[/math]

На практике же обычно рассматривается число [math]\displaystyle{ k\lt \lt n }[/math], поэтому второе слагаемое можно опустить.

Информационный граф

На рисунке продемонстрирован граф одной итерации (при каком-либо произвольном значении итератора [math]\displaystyle{ j }[/math]) описанного алгоритма без отображения входных и выходных данных. Наглядно продемонстрированы связи между всеми действиями и с помощью деления на [math]\displaystyle{ n }[/math] потоков показано, какие операции возможно выполнять параллельно на каждом шаге с целью оптимизации и экономии машинного времени. В результате, после параллельно выполненных операций Division на заключительном ярусе, на выходе имеем значение следующего вектора Ланцоша [math]\displaystyle{ q_{j+1} }[/math], после чего следует переход на следующую итерацию, и процесс повторяется.

Simp (от англ. simple) - операции сложения и умножения вещественных чисел при вычислении произведения матрицы на вектор;

Vec mult (от англ. vectors multiplication) - операция скалярного умножения двух векторов;

Vec subtr (от англ. vectors subtraction, из-за использованных в операции вычитаний векторов) - операция умножения вектора на число (выполняется дважды) и формирование нового значения [math]\displaystyle{ z_{new} }[/math] по формуле: [math]\displaystyle{ z = z - \alpha_j q_j - \beta_{j-1}q_{j-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ ||\cdot|| }[/math] - операция вычисления нормы вектора;

Division - операция деления вектора на вещественное число [math]\displaystyle{ \beta_j }[/math]

Важно отметить, что упомянутые выше операции также легко поддаются оптимизации. Например, попарные умножения вещественных координат векторов при вычислении скалярного произведения также легко выполняются параллельно на [math]\displaystyle{ n }[/math] потоках, а затем можно применить суммирование методом сдваивания, о котором сказано в следующем пункте. Умножение или деление вектора на вещественное число являющееся, по определению, умножением или делением всех его координат на это число тоже может быть выполнено эффективнее, если мы используем [math]\displaystyle{ n }[/math] потоков, а не выполняем эти действия последовательно.

Ресурс параллелизма алгоритма

Параллельные операции возможны только внутри итераций, так как рассматриваемый алгоритм является итерационным, и сами итерации строго последовательны.
Рассмотрим в этом пункте подробнее, какой выигрыш мы можем получить при распараллеливании операций внутри одной итерации согласно графу из предыдущего пункта.

Умножение вещественной симметричной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] на вектор [math]\displaystyle{ b }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math] требует последовательного выполнения [math]\displaystyle{ n }[/math] ярусов умножений и сложений. Сложение элементов вектора длины [math]\displaystyle{ n }[/math] на каждом шаге перемножения можно оптимизировать и выполнить за [math]\displaystyle{ \log_2 n }[/math] действий, если применять метод сдваивания.

Дальнейшие операции выполняются последовательно, а вычисление значений векторов происходит за один ярус операций сложения или умножения.

Ресурс параллелизма алгоритма вычисления собственных значений построенной трёхдиагональной матрицы [math]\displaystyle{ T_k }[/math] размера [math]\displaystyle{ k\times k }[/math] зависит от выбранного алгоритма (об этих алгоритмах подробнее было сказано в пункте 1.2). Будет очень затратно с точки зрения объёма материала пытаться рассмотреть пусть даже часть этих методов в этой статье, а так же тонкости их распараллеливания. Предлагаем читателям при желании самим ознакомиться с этими алгоритмами на данном ресурсе или прибегнув к иным источникам.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм Ланцоша без переортогонализации относится к алгоритмам с логарифмической сложностью, и его сложность равна [math]\displaystyle{ O(\log_2 n) }[/math] с важным замечанием, что это сложность только одной итерации, а максимум в алгоритме может быть выполнено последовательно [math]\displaystyle{ k }[/math] таких однотипных итераций.

Несмотря на то, что на графе в предыдущем пункте для лучшей визуализации и понимания было изображено [math]\displaystyle{ n }[/math] потоков (никаких допущений мы не делали и нарушений с точки зрения логики и математики нет, можно изобразить большее число потоков, просто часть времени некоторые из них могут бездействовать и не использоваться), на самом деле правильным и разумным будет реализовать начальное параллельное выполнение [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] операций умножения всех вещественных элементов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на соответствующие элементы вектора [math]\displaystyle{ q_j }[/math], после чего применять тот же самый упомянутый метод сдваивания.

Поэтому при классификации по ширине ЯПФ его сложность будет квадратичной и равна [math]\displaystyle{ O(n^2) }[/math].

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные алгоритма: вещественная симметричная [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math], вещественный вектор [math]\displaystyle{ b }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math], и одно вещественное число [math]\displaystyle{ k }[/math], означающее количество итераций.

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ n^2 +n + 1 }[/math]. Если учесть, что матрица симметричная и достаточно для её однозначного определения задать элементы на главной диагонали и элементы над или под ней, то можно сократить объём входных данных с целью экономии памяти до: [math]\displaystyle{ \ \frac{n(n - 1)}{2} + 2\,n + 1 }[/math]

Выходные данные алгоритма: вектор собственных значений [math]\displaystyle{ \Theta^k }[/math] длины [math]\displaystyle{ k }[/math], матрица [math]\displaystyle{ S^k }[/math] из соответствующих собственных векторов размера [math]\displaystyle{ n\times k }[/math].

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ k\;(n + 1) }[/math].

Свойства алгоритма

добавить деммель страница 383 внизу

Литература

[1] Парлетт Б. - Симметричная проблема собственных значений. Численные методы //М.: Мир. - 1983. - С. 276-294

[2] James W. Demmel - Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения //Мир. - 2001. С. 381-391

[3] Голуб Дж., Ван Лоун Ч. - Матричные вычисления//М.: Мир. - 1999. - С. 426-436

[4] https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_вычисления_собственных_значений#.D0.9C.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.86.D1.8B_.D0.A5.D0.B5.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B3.D0.B0_.D0.B8_.D1.82.D1.80.D1.91.D1.85.D0.B4.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.86.D1.8B

[5] http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/int_ae/int_ae6.htm