Алгоритм Тарьяна-Вишкина поиска компонент двусвязности
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Параллельный алгоритм Тарьяна-Вишкина [1] находит компоненты двухсвязности неориентированного графа за время [math]\displaystyle{ O(\ln n) }[/math] на [math]\displaystyle{ O(m + n) }[/math] процессорах. Алгоритм может быть адаптирован для поиска мостов. Эффективность алгоритма Тарьяна-Вишкина подтверждена в последнее время[2][3] как на системах архитектуры SMP, так и при вычислениях на GPU.
Математическое описание алгоритма
1. Для каждой компоненты связности графа найти какое-либо остовное дерево [math]\displaystyle{ T }[/math].
2. Перенумеровать вершины [math]\displaystyle{ T }[/math] в порядке обратного обхода.
3. В порядке возрастания номера вершины выполнить следующие действия:
a. [math]\displaystyle{ D(v) := 1+ \sum_{v \rightarrow w}D(w) }[/math]
b. [math]\displaystyle{ L(v) := \min { \{N(v) - D(v)+1 \} \cup \{ L(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} } }[/math]
c. [math]\displaystyle{ H(v) := \max { \{ N(v) \} \cup \{ H(w) | v \rightarrow w \} \cup \{ N(w) | v \cdots w \} } }[/math]
d. Пометить ребро [math]\displaystyle{ v \rightarrow w }[/math] мостом, если [math]\displaystyle{ H(w)\lt =N(w) }[/math] и [math]\displaystyle{ L(w)\gt N(w)-D(w) }[/math].
Вычислительное ядро алгоритма
Макроструктура алгоритма
На первом шаге работы алгоритма строится остовный лес графа с использованием модифицированного алгоритма Шилоаха-Вишкина.
Для этого для каждой вершины [math]\displaystyle{ v }[/math] определяется указатель на родительскую вершину [math]\displaystyle{ P(v) }[/math]; на шаге инициализации [math]\displaystyle{ P(v):=v }[/math]. Далее остовный лес строится чередованием двух параллельных операций:
• Удвоение указателей: [math]\displaystyle{ P(v):=P(P(v)) }[/math] ;
• Соединение: [math]\displaystyle{ P(P(v)):=P(w) }[/math], где [math]\displaystyle{ v }[/math] – вершина [math]\displaystyle{ P }[/math]-дерева ( [math]\displaystyle{ P(v)=v }[/math]на текущем шаге), [math]\displaystyle{ w }[/math]– некоторая вершина, для которой существует ребро [math]\displaystyle{ (v,w)\in E }[/math]. Ребро помечается, как принадлежащее остовному лесу .
Далее производятся следующие шаги:
• перенумерация вершин в обратном порядке обхода (post-order);
• вычисление количества потомков [math]\displaystyle{ D(v) }[/math] для каждой вершины;
• вычисление значений [math]\displaystyle{ L(v) }[/math] и [math]\displaystyle{ H(v) }[/math] для каждой вершины;
• пометка рёбер [math]\displaystyle{ v \rightarrow w }[/math] мостами, если [math]\displaystyle{ H(w)\lt =N(w) }[/math] и [math]\displaystyle{ L(w)\gt N(w)-D(w) }[/math].
Основной идеей для обеспечения завершения работы алгоритма за [math]\displaystyle{ O( \ln n) }[/math] шагов является систематическое использование операции удвоения указателей.
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательная сложность алгоритма
Последовательный вариант алгоритма аналогичен алгоритму Тарьяна[4] и имеет линейную сложность [math]\displaystyle{ O(m + n) }[/math].
Информационный граф
Далее представлен информационный граф алгоритма, демонстрирующий описанные уровни параллелизма. Информационный граф алгоритма — ориентированный граф, состоящий из вершин, соответствующих операциям алгоритма, и направленных дуг, соответствующих передаче данных (результаты одних операций передаются в качестве аргументов другим операциям) между ними.
Рассмотрим подробнее данный информационный граф: в начале работы алгоритма происходит поиск в ширину (BFS) для построения дерева {1, 2}, затем поиск в глубину для нумерации вершин {3, 4, 5}, а затем подсчет величин Low, Disc {6} и сохранение ответа {7}.
Ресурс параллелизма алгоритма
Алгоритм изначально параллельный, время работы [math]\displaystyle{ O(\ln n) }[/math] на [math]\displaystyle{ O(m + n) }[/math] процессорах.
Входные и выходные данные алгоритма
Свойства алгоритма
1. Компонента сильной связности – подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.
2. Компонента сильной связности является объединением всех циклом, проходящих через её вершины.
Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Локальность реализации алгоритма
Структура обращений в память и качественная оценка локальности
Количественная оценка локальности
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Программа, реализующая алгоритм Тарьяна-Вышкина, состоит из двух частей: CPU части, отвечающей за параллельные вычисления на многоядерных CPU, а так же копирование данных на GPU и общее управлениями вычислениями, и GPU части, отвечающей только за вычисления на графическом ускорителе.
Масштабируемость алгоритма и его реализации
Масштабируемость алгоритма
Масштабируемость реализации алгоритма
Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма Тарьяна-Вишкина согласно методике. Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов-2 Суперкомпьютерного комплекса Московского университета.
Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
- размер графа [2^18 : 2^26].
Проведем отдельные исследования масштабируемости вширь реализации алгоритма Тарьяна-Вишкина.
Основной характеристикой для сравнения было выбрано время выполнения, так как производительность (определения как TEPS то есть число ребер графа, которое алгоритм обрабатывает в секунду) для данной операции не отражает реальную эффективность обработки.
Анализируя время выполнения можно оценить, насколько понижается эффективность обработки графа при увеличении его размера (данные перестают помещаться в кэш, в память GPU, узла и т.д.).
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Выводы для классов архитектур
Существующие реализации алгоритма
Литература
- ↑ Tarjan, Robert Endre, and Uzi Vishkin. “An Efficient Parallel Biconnectivity Algorithm.” SIAM Journal on Computing 14, no. 4 (1985): 862–74.
- ↑ Edwards, James A, and Uzi Vishkin. “Better Speedups Using Simpler Parallel Programming for Graph Connectivity and Biconnectivity,” PMAM’12, 103–114, New York, USA: ACM Press, 2012. doi:10.1145/2141702.2141714
- ↑ Guojing Cong, and David A Bader. “An Experimental Study of Parallel Biconnected Components Algorithms on Symmetric Multiprocessors (SMPs),” 45b, IEEE, 2005. doi:10.1109/IPDPS.2005.100.
- ↑ Tarjan, Robert. “Depth-First Search and Linear Graph Algorithms.” SIAM Journal on Computing 1, no. 2 (1972): 146–60.