Участник:Шишков Илья Сергеевич/Алгоритм HCM (Hard C – Means)
| Файл:Symbol wait.svg | Эта работа прошла предварительную проверку Дата последней правки страницы: 18.12.2016 Данная работа соответствует формальным критериям. Проверено Шишков Илья Сергеевич. |
| Алгоритм HCM (Hard C – Means) | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | [math]\displaystyle{ O(ncK) }[/math] |
| Объём входных данных | [math]\displaystyle{ O(nK) }[/math] |
| Объём выходных данных | [math]\displaystyle{ O(c(K+n)) }[/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ O(1) }[/math] |
| Ширина ярусно-параллельной формы | [math]\displaystyle{ O(cK) }[/math] |
Основные авторы описания: Илья Шишков (1.1-1.4, 2.7, 2.4), Гульгайша Темербекова (1.5-1.10, 3, 2.4)
Свойства и структура алгоритма
Общее описание алгоритма
Алгоритм HCM (Строгий алгоритм С-средних) был предложен группой исследователей(Jang, Sun and Mizutani) в 1997 и относится к классу алгоритмов со строгой кластеризаций.
Кластеризацией называется подход к описанию данных, в котором наиболее схожие данные объединяются в группы(кластеры). Кластеризация является распространенным подходом для анализа данных и используется во многих сферах научной деятельности, таких как машинное обучение, анализ данных, распознавание шаблонов, анализ изображений и биоинформатика.
Кластеризация представляет собой комбинирование рассматриваемых объектов так, чтобы каждая группа объектов обладала схожим свойством. В общем случае кластеризация характеризуются следующими критериями: - Каждая группа или кластер однородны; объекты, принадлежащие одной группе имеют схожие свойства; - Каждая группа или кластер отличаются от других кластеров т.е. объекты, принадлежащие одному кластеру, должны отличатся от объектов других кластеров
В строгой кластеризации наборы данных разделяются на кластеры однозначно. Каждый набор данных может относится только к одному кластеру. Строгой кластеризации характеризуется следующими свойствами: - Используется для классификации данных в однозначные наборы - Каждый набор данных принадлежит только одному кластеру - Кластеры также называют разделами - Результатом работы кластерного алгоритма является матрица соответствия которая показывает, к какому кластеру принадлежит каждый набор данных
В этом кластерном алгоритме не допускается частичное отношение к кластеру (как в FCM). HCM предназначен для классификации входных наборов в строгом смысле. В строгом алгоритме С-средних данные классифицируются по кластерам однозначно, т.е. при определенном заранее критерии, каждый элемент данных может принадлежать одному и только одному кластеру.
Алгоритм HCM является итеративным и состоит из нескольких шагов:
1.Инициализация:
Случайным образом определяются C векторов - центров кластеров
2. Расчет рядовой матрицы:
В процессе расчета рядовой матрицы каждый вектор сравнивается с ближайшим кластерным центром
3. Расчет оценочной функции:
Проверка условия, при котором алгоритм завершает работу и вывод результата в этом случае
4. Переопределение кластерных центров
Пункты 2-4 выполняются до тех пор, пока в пункте 3 проверка не станет успешной.
Математическое описание алгоритма [1]
Обозначения
[math]\displaystyle{ U }[/math] - наборы данных
[math]\displaystyle{ u_{i} }[/math] - i-ый набор из [math]\displaystyle{ U }[/math]
[math]\displaystyle{ u }[/math] - любой набор из [math]\displaystyle{ U }[/math]
[math]\displaystyle{ K }[/math] - количество наборов в [math]\displaystyle{ U }[/math]
[math]\displaystyle{ c_{j} }[/math] - j-ый кластер
[math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров
[math]\displaystyle{ c_{j} }[/math] - j-ый кластерный центр
[math]\displaystyle{ c^*_{j} }[/math] - j-ый кластерный центр после обновления
Выходные данные: [math]\displaystyle{ c^*_{1}, c^*_{2}, ... c^*_{c}, M }[/math]
Объектная функция:
[math]\displaystyle{ J=\sum_{j = 1}^{c} \sum_{u_{i} \in c_{j}}^{} \|u_{i}-c_{j}\|^2, j \in 1,2, ... c, i={1,2, ...K} }[/math]
Шаг 1
Из входного набора [math]\displaystyle{ u_{1},u_{2}, ... u_{K} }[/math] выбираются [math]\displaystyle{ c }[/math] начальных кластерных центра [math]\displaystyle{ c_{1},c_{2},...,c_{c} }[/math]либо случайным образом, либо с использованием заранее определенного алгоритма
Шаг 2
Рассчитывается рядовая матрица [math]\displaystyle{ M=\|m_{ik}\| }[/math] каждый элемент которой вычисляется по следующей формуле:
- [math]\displaystyle{ m_{ik} = \begin{cases} 1, & \|u_k-c_i\|^2 \leqslant \|u_k-c_j\|^2 \;\; \text{for all } i \neq j; \;\; (i,j=1,2,\ldots,c; \; k = 1,2,\ldots,K)\\ 0, & \text{other}. \end{cases} }[/math]
Шаг 3
Рассчитывается объектная функция J. На этом этапе может быть инициировано завершение алгоритма в случае если значение объектной функции незначительно изменилось относительно предыдущей итерации или достигло ожидаемого значения.
Шаг 4
Рассчитываются новые кластерные центры по следующей формуле:
[math]\displaystyle{ c^*_{j} = \frac{1}{|c_{j}|} \sum_{u_{i} \in c_{j}}^{} c_{i}, j=1,2,3..,c }[/math]
где [math]\displaystyle{ |c_{j}| }[/math] - число элементов, принадлежащих кластеру [math]\displaystyle{ c_{j} }[/math]
Шаг 5
Если алгоритм не завершил свою работу на шаге 3 то переходим к шагу 2.
Вычислительное ядро алгоритма
Вычислительным ядром данного алгоритма является вычисление на каждой итерации алгоритма квадратов норм между кластерными центрами и векторами из входного набор согласно формуле [math]\displaystyle{ \|u_k-c_i\|^2 }[/math]. На каждой итерации алгоритма происходит [math]\displaystyle{ cK }[/math] таких вычислений.
Макроструктура алгоритма
Основной операцией алгоритма является операция нахождения квадратов расстояний между исходными векторами и кластерными центрами.
[math]\displaystyle{ \|u_k-c_i\|^2 }[/math]
При вычислении объектной функции производится суммирование полученных расстояний:
[math]\displaystyle{ J=\sum_{j = 1}^{c} \sum_{u_{i} \in C_{j}}^{} \|u_{i}-c_{j}\|^2, j \in 1,2, ... c, i={1,2, ...K} }[/math]
При перерасчете кластерных центров происходит суммирование векторов:
[math]\displaystyle{ c^*_{j} = \frac{1}{|c_{j}|} \sum_{u_{i} \in c_{j}}^{} u_{i}, j=1,2,3..,c }[/math]
Схема реализации последовательного алгоритма
Последовательность исполнения метода следующая [2]:
1. Инициализация кластерных центров [math]\displaystyle{ c_i \, (i=1,2,\ldots,c) }[/math]. Это можно сделать выбрав случайным образом [math]\displaystyle{ c }[/math] – векторов из входного набора.
2. Вычисление рядовой матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math]:
- [math]\displaystyle{ m_{ik} = \begin{cases} 1, & \|u_k-c_i\|^2 \leqslant \|u_k-c_j\|^2 \;\; \text{for all } i \neq j; \;\; (i,j=1,2,\ldots,c; \; k = 1,2,\ldots,K) \\ 0, & \text{other}. \end{cases} }[/math]
где К – количество элементов во входном наборе данных.
Матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] обладает следующими свойствами:
- [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^c m_{ij} = 1, \;\; \sum\limits_{j=1}^K m_{ij} = K. }[/math]
3. Расчёт объектной функции:
- [math]\displaystyle{ J = \sum\limits_{i=1}^c J_i = \sum\limits_{i=1}^c \left( \sum\limits_{k:\, u_k \in C_i} \|u_k -c_i \|^2 \right) . }[/math]
На этом шаге происходит остановка и выход из цикла, если полученное значение ниже пороговой величины или полученное значение не сильно отличается от значений, полученных на предыдущих циклах.
4. Пересчёт кластерных центров выполняется в соответствии со следующим уравнением:
- [math]\displaystyle{ c_i = \frac{1}{|C_i|} \sum\limits_{k:\, u_k \in c_i} u_k, }[/math]
где под [math]\displaystyle{ |C_i| }[/math] подразумевается количество элементов в [math]\displaystyle{ i }[/math]-ом кластере.
5. на шаг 2.
Последовательная сложность алгоритма
Каждая операция вычисления квадрата нормы разности векторов выполненяет [math]\displaystyle{ n }[/math] вычитаний, [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] сложений и [math]\displaystyle{ n }[/math] операций возведения в квадрат (умножений).
Для каждой итерации алгоритма требуется:
- [math]\displaystyle{ ncK }[/math] умножений,
- [math]\displaystyle{ ncK }[/math] вычитаний,
- [math]\displaystyle{ K(cn+1) }[/math] сложений,
- [math]\displaystyle{ K(c-1) }[/math] сравнений.
Умножения, сложения (вычитания), сравнения составляют основную часть алгоритма.
Итоговая сложность последовательной реализации алгоритма [math]\displaystyle{ O(ncK) }[/math] [3]. Обычно [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] значительно меньше, чем [math]\displaystyle{ K }[/math].
Информационный граф
опишем граф как аналитически, так и в виде рисунка.
Граф алгоритма состоит из пяти групп вершин.
Первая группа вершин [math]\displaystyle{ c_1,...,c_c }[/math] - прямое вычисление расстояния до кластерных центров, то есть вычисление расстояний от заданного элемента [math]\displaystyle{ u_i }[/math] до каждого из кластерных центров.
Вторая группа вершин min - ей соответствует вычисление минимального расстояния до кластерных центров,передача найденного минимального расстояния и соответствующего ему индекса кластера.
Третья группа вершин M - ей соответствует операция записи единички в столбец матрицы.
Четвертая группа вершин J - вычисление объектной функции, происходит проверка условия достижения необходимой точности, если достигли заданной точности то переход в Out, в противном случае Conversion.
Пятая группа вершин Conversion - пересчёт кластерных центров и переход на следующую итерацию.
На рисунке изображена одна итерация алгоритма.
Ресурс параллелизма алгоритма
Для одной итерации алгоритма в параллельном варианте требуется [math]\displaystyle{ K }[/math] раз последовательно выполнить для каждого [math]\displaystyle{ u_i }[/math] следующие ярусы:
- [math]\displaystyle{ C }[/math] операций нахождения расстояния от элемента [math]\displaystyle{ u_i }[/math] до каждого из кластерных центров.
- [math]\displaystyle{ C-1 }[/math] сравнений, для нахождения минимального расстояния.
- операция записи единички в столбец матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math].
Основным ресурсом алгоритма является вычисление квадрата нормы для каждого [math]\displaystyle{ u_i }[/math]. Расчёт значения объектной функции [math]\displaystyle{ J }[/math] сложно представить в параллельном варианте, поэтому вычисление объектной функции производится последовательно.Использование параллельной реализации алгоритма приведёт к понижению производительности при небольшой размерности системы и малом объеме выборки. При параллельном варианте необходима пересылка данных, что при малом объеме выборки и небольшой размерности займет больше времени, чем при последовательном варианте. Как легко видеть из информационного графа, высота ЯПФ составляет [math]\displaystyle{ O(1) }[/math], ширина ЯПФ составляет [math]\displaystyle{ O(cK) }[/math], если число итераций меньше объема выборки.
Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные:
- [math]\displaystyle{ \{u_k\}_{k=1}^{K} }[/math] — исходный набор векторов, принадлежащие пространству [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math];
- [math]\displaystyle{ c }[/math] — количество кластеров;
Объём входных данных: [math]\displaystyle{ nK }[/math].
Выходные данные:
- [math]\displaystyle{ M }[/math] — матрица, принадлежащая пространству [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{c \times K} }[/math].
- [math]\displaystyle{ \{c^*_i\}_{i=1}^{c} }[/math] — набор построенных кластерных центров.
Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ c(K+n) }[/math].
Свойства алгоритма
Назначение: кластеризация больших наборов числовых данных.
Достоинства: легкость реализации,вычислительная простота.
Недостатки: задание количества кластеров,отсутствие гарантии в нахождении оптимального решения.
Программная реализация алгоритма
Особенности реализации последовательного алгоритма
Локальность данных и вычислений
Локальность реализации алгоритма
Структура обращений в память и качественная оценка локальности
Количественная оценка локальности
Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
Масштабируемость алгоритма и его реализации
Масштабируемость алгоритма
Масштабируемость реализации алгоритма
Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма Hard C - Means (HCM). Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета с пиковой производительностью 1,7 Пфлопс, число процессоров/ядер x86: 12 346 / 52 168. Программа написана на языке C с использованием MPI, не использовалось дополнительных опций. Использовалась следующая параллельная реализация алгоритма HCM. Компилятор: gcc. Версия MPI - intel openmpi/1.8.4-icc. Модель используемого CPU - Intel Xeon X5570 2.93GHz.
Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:
- число ядер [math]\displaystyle{ [16 : 256] }[/math] с шагом по степеням двойки;
- объём выборки [math]\displaystyle{ [10^3:10^7] }[/math] с шагом по степеням десятки;
На рисунке приведена параллельная реализация алгоритма Hard C - Means (HCM). Изменение вычислительного времени алгоритма в зависимости от числа ядер и размера исходных данных.
Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
Выводы для классов архитектур
Существующие реализации алгоритма
Литература
- ↑ Arabinda Panda & Satchidananda Dehuri. Hard C-means Clustering Algorithm in Gene Expression Data // International Journal on Advanced Computer Theory and Engineering, ISSN-PRINT: 2319-2526. - 2013. - v. 2. - p. 35-39 [1]
- ↑ Jyh-Shing Roger Jang, Chuen-Tsai Sun, Eiji Mizutani. Neuro-fuzzy and soft computing: a computational approach to learning and machine intelligence. Prentice-Hall, Inc. Simon & Schuster/A Viacom Company Upper Saddle River, NJ 07458. - 1997. - p. 424. [2]
- ↑ Pawan Kumar, Mr. Pankaj Verma, Rakesh Sharma. Comparative analysis of Fuzzy C-mean and Hard C-mean algorithm // International Journal of information Technology and Knowledge Management. - July-December 2010. - v. 2 [3]